第7章刚体力学习题解答 51 第7章刚体力学习题解答 系原来的动能等于重力势能的增量： 由机械能守恒： (m+M)@2=mgl(1-cos0)+Mg(1-cos0) mghc =lo',mgmho2,o =3gIh ÷c0s0=1-g20a2=1-82*0.8635 (2m+)g 上端点到达地面时的线速度： 0=30°34' v=oh=3gh=√3×9.8×10=17.2m/s 7.4.3一质量为m1,速度为v1的子弹沿水平面击中并嵌入一质 量为m=99m1,长度为L的棒的端点，速度v1与棒垂直，棒原来静 7.5.2用四根质量各为m长度各为1的匀质细杆制成正方形框 止于光滑的水平面上，子弹击中棒后共同运动，求棒和子弹绕垂直 架，可绕其中一边的中点在竖直平面内转动，支点0是光滑的。最 与平面的轴的角速度等于多少？ 初，框架处于静止且AB边沿竖直方向，释放后向下摆动，求当AB 解：以地为参考系，把子弹和棒看作 A m2,L 边达到水平时，框架质心的线速度及框架作用于支点的压力N, 一个物体系，棒嵌入子弹后作平面运动， 解：先求出正方形框架对支点0的转动惯量： 1 vI C O 可视为随质心C的平动和绕质心C的转 m 1。=I.+4m号)2=1.+ml2 动，绕质心C转动的角速度即为所求。 Ep=0 1.=4(位ml2+m)=÷ml21。=子ml2 据质心定义： %=C0m+m2=C0+C4100=L 北==gg=I B A m2CA’m2 CA’99-2CA 设AB边达到水平位置时，框架的角速 度为0，据机械能守恒定律：4mg号=1。o2=(仔ml2)o2 CA=99L/200=0.495L,C0=0.5L-0.495L=0.005L ∴o=,.=o=g 据角动量守恒：m,,CA=(m,CA2+文m2L2+m2CO)@ AB边在水平位置时，框架所受到的向上的支撑力N和向下的 my×0.495L=m1(0.4952+t×99+99×0.0052)L20 重力W的作用线均通过支点o,对0轴的力矩为零，据转动定理， 框架的角加速度为零，∴.a=w2/2=6g/7,方向向上。规定向上方向 0.495y,=(0.4952+99/12+99×0.0052)Lo 为正，对框架应用质心运动定理： 0=0.0581/L N-4mg=4ma。=4m号g∴.N=4mg(1+9)=7号mg 7.5.110m高的烟肉因底部损坏而倒下来，求其上端到达地面时 据牛顿第三定律，支点受到的压力，大小等于N,方向向下。 的线速度，设倾倒时，底部未移动，可近似认为烟囱为匀质杆。 解：设烟肉质量为m,高为h,质心高度hc=h/2,对转轴的转 7.5.3由长为1，质量为m的匀质细杆组成正方形框架，其中一 动惯量I=古mh+m()2=}mh,倒在地面上时的角速度为w 角连于水平光滑转轴O,转轴与框架所在平面垂直，最初，对角线第 7 章刚体力学习题解答 51 第 7 章刚体力学习题解答 系原来的动能等于重力势能的增量： cos 1 1 0.8635 ( ) (1 cos ) (1 cos ) (2 0.01 2.97) 9.8 2 (0.01 2.97 / 3) 1.0 2.0 (2 ) ( / 3) 2 2 2 3 1 2 1 2  = − = −  + = − + −  +  +   + +      m M g m M l mgl Mg l m M l θ=30º34’ 7.4.3 一质量为 m1，速度为 v1 的子弹沿水平面击中并嵌入一质 量为 m2=99m1，长度为 L 的棒的端点，速度 v1 与棒垂直，棒原来静 止于光滑的水平面上，子弹击中棒后共同运动，求棒和子弹绕垂直 与平面的轴的角速度等于多少？ 解：以地为参考系，把子弹和棒看作 一个物体系，棒嵌入子弹后作平面运动， 可视为随质心 C 的平动和绕质心 C 的转 动，绕质心 C 转动的角速度即为所求。 据质心定义: CA L CA CO CA m m m CA CO m m 99 2 100 , , 2 1 2 2 1 = + = + = ， CA = 99L / 200 = 0.495L, CO = 0.5L − 0.495L = 0.005L 据角动量守恒： ( ) 2 2 2 12 2 2 1 m1 v1CA = m1CA + m L + m CO v L v L m v L m L 0.058 / 0.495 (0.495 99 /12 99 0.005 ) 0.495 (0.495 99 99 0.005 ) 1 2 2 1 2 2 12 2 1 1 1 1 = = + +   = +  +     7.5.1 10m 高的烟囱因底部损坏而倒下来，求其上端到达地面时 的线速度，设倾倒时，底部未移动，可近似认为烟囱为匀质杆。 解：设烟囱质量为 m，高为 h，质心高度 hC=h/2，对转轴的转 动惯量 2 3 2 1 2 2 12 1 I mh m( ) mh h = + = ，倒在地面上时的角速度为ω 由机械能守恒： mgh I mg mh g h h C , , 3 / 2 2 3 1 2 1 2 2 2 1 =   =    = 上端点到达地面时的线速度： v =h = 3gh = 39.810 =17.2m/s 7.5.2 用四根质量各为 m 长度各为 l 的匀质细杆制成正方形框 架，可绕其中一边的中点在竖直平面内转动，支点 o 是光滑的。最 初，框架处于静止且 AB 边沿竖直方向，释放后向下摆动，求当 AB 边达到水平时，框架质心的线速度 vc及框架作用于支点的压力 N. 解：先求出正方形框架对支点 o 的转动惯量： 2 3 2 7 3 4 4 2 12 1 2 2 2 4( ) 4 ( ) 2 I ml m ml I ml I I m I ml o l c c l o c = + =  = = + = + Ep=0 设 AB 边达到水平位置时，框架的角速 度为ω，据机械能守恒定律： 2 2 3 7 2 2 1 2 1 2 4mg l = I o = ( ml ) v l gl l c g 7 3 2 1 7 12  = , =  = AB 边在水平位置时，框架所受到的向上的支撑力 N 和向下的 重力 W 的作用线均通过支点 o，对 o 轴的力矩为零，据转动定理， 框架的角加速度为零，∴ac=ω2 l/2=6g/7，方向向上。规定向上方向 为正，对框架应用质心运动定理： N mg mac m g N mg mg 7 3 7 6 7 6 − 4 = 4 = 4  = 4 (1+ ) = 7 据牛顿第三定律，支点受到的压力，大小等于 N，方向向下。 7.5.3 由长为 l，质量为 m 的匀质细杆组成正方形框架，其中一 角连于水平光滑转轴 O，转轴与框架所在平面垂直，最初，对角线 A B B A C O o A m2,L v1 m1