·1088· 工程科学学报，第37卷，第8期 式中，r为钢卷半径，h为带钢厚度，E为弹性模量，v为 应力函数各系数A1A,和A,可通过余能定理和最 泊松比. 小功原理进行求解，从而得出应力函数φ，即前屈曲应 力场分布. ∫[品()+品()+ 2器品()小h=0 (22) 3.4临界卷取张力计算模型 图5钢卷起筋最外层带钢受力分析 钢卷最外层带钢的几何模型可以简化为厚度为带 Fig.5 Force analysis of the outmost layer coiling strip with a ridge- 钢厚度、半径为钢卷最大卷径的圆柱壳.圆柱壳的变 buckle defect 形协调方程和曲面微分方程分别为☒ 考虑到带钢起筋部位的应力集中现象，局部附加 +蓝=-+()s) 1 张力轴向分布采用高斯函数形式： x子y 0=Ao,e()2 (19) 式中，k,为应力集中系数，b为带钢半宽. w-加- h 带钢的周向应力分布由卷取张力和局部高点引起 dw do 的局部附加张力两部分组成： eg+fu.de-2× (24) a'x a'y a子yax ax dy dx dy N,=h(as,+os),xE [-b,b]. (20) 式中，h为带钢厚度，o、,为带钢卷取张力，0s,为局部附 式中，D为带钢的抗弯刚度， 加张力 Eh' 3.3起筋带钢弹性应力场求解 D=120-) 对于边界载荷产生的应力场求解，可以引入Aiy 对曲面微分方程进行运算，并将应力函数 应力函数Φ(x,y),使其满足平衡方程、本构关系、物理 和曲面微分方程代入变形协调方程中，得到分析起筋 方程、变形协调方程以及边界条件.将应力函数用级 临界卷取张力的八阶微分方程： 数形式表示，并取前三项近似求解@： =Ac,e(d+ DP+a(号杂-a如)=N(话✉) =-)(-), 2(r✉)+（层✉） (25) ---)茶 采用伽辽金虚位移法进行求解，并从已知的应力 场分布搜索一个带钢起筋区域[-b.,b],使带钢在此 (1-)(1-) 区域内起筋获得的卷取张力最小，即带钢起筋的临界 卷取张力： (21) 广{+2,()-(+-a，( wdxdy 0N= h广（w)ad (26) 3.5钢卷最外层带钢应力场仿真研究 张力不均匀分布和轴向压应力是导致带钢起筋的根 对表1所示的工况参数进行钢卷最外层带钢的应 源.另外，带钢宽度在Ix/亿|≤0.2的轴向应力几乎没 力场仿真计算，计算结果如图6所示 有差别，而带钢宽度在0.2<Ix儿1<0.4的轴向应力 从图6中可以看出，由于带钢周向应力的不均匀 要小得多，这意味着起筋区域扩展到1x/b1>0.2的范 分布，带钢宽度在Ix/b1≤0.4的范围内存在轴向压应 围是十分困难的.因此，对于中部存在局部高点的带 力区，且等效应力在带钢中部1x/儿1≤0.2范围时达到 钢，起筋多发生于带钢中部和距离带钢中部100~ 幅值.因此，局部高点在径向累积叠加所引起的带钢 200mm的范围.工程科学学报，第 37 卷，第 8 期 式中，rn为钢卷半径，h 为带钢厚度，E 为弹性模量，v 为 泊松比． 图 5 钢卷起筋最外层带钢受力分析 Fig． 5 Force analysis of the outmost layer coiling strip with a ridge￾buckle defect 考虑到带钢起筋部位的应力集中现象，局部附加 张力轴向分布采用高斯函数形式: σSy = Δσy e － ( x b × k ) N 2 ． ( 19) 式中，kN为应力集中系数，b 为带钢半宽． 带钢的周向应力分布由卷取张力和局部高点引起 的局部附加张力两部分组成: Ny = h( σNy + σSy ) ，x∈［－ b，b］． ( 20) 式中，h 为带钢厚度，σNy为带钢卷取张力，σSy为局部附 加张力． 3. 3 起筋带钢弹性应力场求解 对于边界载荷产生的应力场求解，可以引入 Airy 应力函数 φ( x，y) ，使其满足平衡方程、本构关系、物理 方程、变形协调方程以及边界条件． 将应力函数用级 数形式表示，并取前三项近似求解［10］: φ = Δσy e － ( x b ×k ) N 2 dxdx + A1φ1 + A2φ2 + A3φ3， φ1 ( = 1 － x 2 b 2 ) ( 2 1 － y 2 a2 ) 2 ， φ2 ( = 1 － x 2 b 2 ) ( 2 1 － y 2 a2 ) 2 x 2 b 2 ， φ3 ( = 1 － x 2 b 2 ) ( 2 1 － y 2 a2 ) 2 y 2 a2            ． ( 21) 应力函数各系数 A1、A2和 A3可通过余能定理和最 小功原理进行求解，从而得出应力函数 φ，即前屈曲应 力场分布． ∫ a －a ∫ b [ －b  2 φ y 2  A (i  2 φ y 2 ) +  2 φ x 2  A (i  2 φ x 2 ) + 2  2 φ x y  A (i  2 φ x  ) ] y dxdy = 0． ( 22) 3. 4 临界卷取张力计算模型 钢卷最外层带钢的几何模型可以简化为厚度为带 钢厚度、半径为钢卷最大卷径的圆柱壳． 圆柱壳的变 形协调方程和曲面微分方程分别为［11 － 12］ 1 E 4 Δ φ + 1 rn  2 w x 2 = －  2 w  2 x  2 w  2 y ( +  2 w x  ) y 2 ，( 23) D h 4 Δ w － 1 rn  2 φ x 2 － Δσz =  2 w  2 x · 2 φ  2 y +  2 w  2 y · 2 φ  2 x － 2 ×  2 w x y ·  2 φ x y ． ( 24) 式中，D 为带钢的抗弯刚度， D = Eh3 12( 1 － v 2 ) ． 对曲面微分方程进行 2 Δ 2 Δ 运算，并将应力函数 和曲面微分方程代入变形协调方程中，得到分析起筋 临界卷取张力的八阶微分方程: D 8 Δ w + ( h E r 2 n  4 w x 4 － Δσz ) = Ny (  2 y 2 4 Δ w ) － 2Nxy (  2 x y 4 Δ w ) + Nx (  2 x 2 4 Δ w ． ) ( 25) 采用伽辽金虚位移法进行求解，并从已知的应力 场分布搜索一个带钢起筋区域［－ bw，bw］，使带钢在此 区域内起筋获得的卷取张力最小，即带钢起筋的临界 卷取张力: σNy = ∫ a －a ∫ bw －b {w D 8 Δ w + 2Nxy (  2  x  y 4 Δ w － N ) x (  2  x 2 4 Δ w + h ) [ E r 2 n  4 w  x 4 － Δσz － σSy (  2  y 2 4 Δ w w ) ] } dxdy h∫ a －a ∫ bw －b ( w  2  y 2 4 Δ w w) dxdy ． ( 26) 3. 5 钢卷最外层带钢应力场仿真研究 对表 1 所示的工况参数进行钢卷最外层带钢的应 力场仿真计算，计算结果如图 6 所示． 从图 6 中可以看出，由于带钢周向应力的不均匀 分布，带钢宽度在 | x / b | ≤0. 4 的范围内存在轴向压应 力区，且等效应力在带钢中部 | x / b | ≤0. 2 范围时达到 幅值． 因此，局部高点在径向累积叠加所引起的带钢 张力不均匀分布和轴向压应力是导致带钢起筋的根 源． 另外，带钢宽度在 | x / b | ≤0. 2 的轴向应力几乎没 有差别，而带钢宽度在 0. 2 ＜ | x / b | ＜ 0. 4 的轴向应力 要小得多，这意味着起筋区域扩展到 | x / b | ＞ 0. 2 的范 围是十分困难的． 因此，对于中部存在局部高点的带 钢，起筋多发生于带钢中部和距离带钢中部100 ～ 200 mm的范围． · 8801 ·