冷轧带钢局部高点卷取过程起筋控制的建模与仿真.pdf_大学文库

工程科学学报，第37卷，第8期：1084-1091,2015年8月 Chinese Journal of Engineering,Vol.37,No.8:1084-1091,August 2015 D0l:10.13374/j.issn2095-9389.2015.08.017:http://journals..ustb.edu.cn 冷轧带钢局部高点卷取过程起筋控制的建模与仿真管健龙”，何安瑞”，孙文权”四，郭睿2) 1)北京科技大学高效轧制国家工程研究中心，北京1000832)首都航天机械公司，北京100076 ☒通信作者，E-mail:wqsun18@gmail.com 摘要为了研究带钢局部高点卷取起筋的控制方法，利用三维弹塑性变形基本理论，并引入带钢塑性流动因子，建立了弹塑性卷取应力和起筋量模型.基于应力函数假设、S.Timoshenko最小功原理和伽辽金虚位移法建立了起筋带钢的应力场分布和可用于在线计算的起筋临界卷取张力设定模型.仿真结果表明：局部高点在径向累积叠加所引起的带钢张力不均匀分布和轴向压应力是导致带钢起筋的主要原因：起筋量随局部高点高度、卷径和卷取张力增加而增大，薄带钢比厚带钢起筋量增幅明显；临界卷取张力随卷径、带钢厚度和局部高点高度增大而减小关键词冷轧：带钢：卷取：板形控制：弹塑性分析：模拟：有限元法分类号TG335.5 Modeling and simulation of ridge-buckle control in the coiling process of cold rolling strips with local high points GUAN Jian-long",HE An-rui,SUN Wen-quan,GUO Rui) 1)National Engineering Research Center for Advanced Rolling,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)Capital Spaceflight Machinery Co.Ltd.,Beijing 100076,China Corresponding author,E-mail:wqsunl8@gmail.com ABSTRACT In order to research the ridge-buckle control method in the coiling process of steel strips with local high points,elasto- plastic stress and ridge-buckle models are established by using the theory of three-dimensional elastoplastic deformation and introducing a plastic flow factor.Then a stress distribution model of ridge-buckle strips and an online setting model of buckling critical coiling tension are derived from the hypothesis of stress functions,the S.Timoshenko principle of least work,and the theory of Galerkin virtu- al displacement.Simulation results show that the uneven distribution of strip tension and axial compressive stress caused by radial accumulation of local high points is the main cause of strip ridge-buckles.The ridge-buckle quantity increases when the local high point's height,coiling diameter and coiling tension increase:the ridge-buckle of a thin strip is more obvious than that of a thick one. The critical coiling tension decreases with the increase of strip thickness,the local high point's height and coiling radius. KEY WORDS cold rolling:strip steel:coiling:shape control:elastoplastic analysis;modeling:finite element method 起筋缺陷是指带材在卷取过程中，由于局部高点亟待解决的技术难题四。目前，关于起筋问题的研究，沿径向逐层累加而在钢卷表面形成的一种“鼓包”现卷取应力和起筋量计算方法都是基于弹性理论网：而象，如图1所示.当起筋量较大时，开卷后在起筋部位在实际卷取过程中，起筋达到一定高度时，带钢产生局表现为附加浪形，严重影响产品性能，造成产品降级或部塑性变形和金属局部塑性流动.因此，弹性理论不报废四.由于起筋现象机理复杂，多年来对其成因一再适用于起筋带钢的卷取应力和起筋量计算.本文利直未能得到理性的、正确的解释，成为严重困扰生产、用三维弹塑性变形的理论，并提出带钢塑性流动因子，收稿日期：201501-21 基金项目：中央高校基本科研业务费专项(FRF-HC-14O05)

工程科学学报，第 37 卷，第 8 期: 1084--1091，2015 年 8 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 37，No． 8: 1084--1091，August 2015 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2015． 08． 017; http: / /journals． ustb． edu． cn 冷轧带钢局部高点卷取过程起筋控制的建模与仿真管健龙1) ，何安瑞1) ，孙文权1) ，郭睿2) 1) 北京科技大学高效轧制国家工程研究中心，北京 100083 2) 首都航天机械公司，北京 100076  通信作者，E-mail: wqsun18@ gmail． com 摘要为了研究带钢局部高点卷取起筋的控制方法，利用三维弹塑性变形基本理论，并引入带钢塑性流动因子，建立了弹塑性卷取应力和起筋量模型．基于应力函数假设、S． Timoshenko 最小功原理和伽辽金虚位移法建立了起筋带钢的应力场分布和可用于在线计算的起筋临界卷取张力设定模型．仿真结果表明: 局部高点在径向累积叠加所引起的带钢张力不均匀分布和轴向压应力是导致带钢起筋的主要原因; 起筋量随局部高点高度、卷径和卷取张力增加而增大，薄带钢比厚带钢起筋量增幅明显; 临界卷取张力随卷径、带钢厚度和局部高点高度增大而减小．关键词冷轧; 带钢; 卷取; 板形控制; 弹塑性分析; 模拟; 有限元法分类号 TG335. 5 Modeling and simulation of ridge-buckle control in the coiling process of cold rolling strips with local high points GUAN Jian-long1) ，HE An-rui1) ，SUN Wen-quan1)  ，GUO Ｒui2) 1) National Engineering Ｒesearch Center for Advanced Ｒolling，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China 2) Capital Spaceflight Machinery Co． Ltd．，Beijing 100076，China  Corresponding author，E-mail: wqsun18@ gmail． com ABSTＲACT In order to research the ridge-buckle control method in the coiling process of steel strips with local high points，elastoplastic stress and ridge-buckle models are established by using the theory of three-dimensional elastoplastic deformation and introducing a plastic flow factor． Then a stress distribution model of ridge-buckle strips and an online setting model of buckling critical coiling tension are derived from the hypothesis of stress functions，the S． Timoshenko principle of least work，and the theory of Galerkin virtual displacement． Simulation results show that the uneven distribution of strip tension and axial compressive stress caused by radial accumulation of local high points is the main cause of strip ridge-buckles． The ridge-buckle quantity increases when the local high point’s height，coiling diameter and coiling tension increase; the ridge-buckle of a thin strip is more obvious than that of a thick one． The critical coiling tension decreases with the increase of strip thickness，the local high point’s height and coiling radius． KEY WOＲDS cold rolling; strip steel; coiling; shape control; elastoplastic analysis; modeling; finite element method 收稿日期: 2015--01--21 基金项目: 中央高校基本科研业务费专项( FＲF--IC--14--005) 起筋缺陷是指带材在卷取过程中，由于局部高点沿径向逐层累加而在钢卷表面形成的一种“鼓包”现象，如图 1 所示．当起筋量较大时，开卷后在起筋部位表现为附加浪形，严重影响产品性能，造成产品降级或报废［1］．由于起筋现象机理复杂，多年来对其成因一直未能得到理性的、正确的解释，成为严重困扰生产、亟待解决的技术难题［2］．目前，关于起筋问题的研究，卷取应力和起筋量计算方法都是基于弹性理论［3］; 而在实际卷取过程中，起筋达到一定高度时，带钢产生局部塑性变形和金属局部塑性流动．因此，弹性理论不再适用于起筋带钢的卷取应力和起筋量计算．本文利用三维弹塑性变形的理论，并提出带钢塑性流动因子

管健龙等：冷轧带钢局部高点卷取过程起筋控制的建模与仿真 ·1085· 建立了可用于在线计算的卷取应力和起筋量模型.在 (o,-g,)2+(o:-g)2+(g.-o,)2+6r2=2o 此基础上，基于应力函数假设和S.Timoshenko最小功 (4) 原理获得了起筋带钢的应力场分布，并采用伽辽金虚式中，σ，为带钢的屈服强度位移法建立了可用于在线计算的起筋临界卷取张力设钢卷在卷取过程中，外层带钢压力使内层带钢产定模型，为起筋在线控制提供了理论依据生周向压缩变形。，引起的带钢张力消失可表示为网 0g=00-0 (5) 式中，0。为带钢卷取张力轴向分布，o:为卷取n圈时第圈带钢的实际周向张力. 1.3带钢塑性流动因子的引入带钢卷取过程中，除局部高点外的大部分区域，带钢的塑性流动是极其有限的.但是，在局部高点附近，由于局部高点累积叠加，引起径向和轴向应力不均匀分布，并形成金属塑性流动.因此，带钢起筋中部与边部横向流动差异较大.为了对带钢塑性流动状态进行描述，本文引入塑性流动因子的表述，定义带钢塑性流图1起筋现象动因子为 Fig.1 Phenomenon of ridge-buckle defects K=e;leo (6) 根据体积不变原理，有： 1带钢卷取时应力和起筋量解析模型 e,+e。+e:=0. (7) 1.1带钢轴对称变形的几何方程和平衡方程式中，e为轴向应变偏张量，e。为周向应变偏张量，e,为钢卷可以看成是轴对称的各向异性体，即带钢的径向应变偏张量应变、应力分布与极角无关.带钢卷取时柱坐标下的应变偏张量与应力偏张量间的关系为的应变一位移几何方程及力的平衡微分方程可以 e. e =入. 表示为 20,-,-020.-,-020.-0,-0 (8) ir'6o=u e,- 将式(6)和式(7)代入式(8)，即可得出钢卷轴向、周向 (1) 正'su 5.= 和径向应力偏张量间的关系： dz ar (2K+1)g+(1-K)g,=(2+K)g,(9) g+m+,-0=0, 将式(9)代入弹塑性物理方程中，从而将带钢塑 ar dz r 性流动条件合理地引入差分计算.使用克莱姆 (2) ++2=0 (Cramer)法则求解线性方程组，即可得到钢卷各单元 az ar 应力与应变的关系，其中M,~M,为线性方程组系数：式中，e,。e:和y分别为钢卷径向应变、周向应变、「o,=M1e,+M2ea+M28:, 轴向应变和剪应变，u为径向位移，w为轴向位移，σ，、 g,(z)=-M28,-M1e。-M2e.-M3oo, σ：0：和T,分别为钢卷径向应力、周向应力、轴向应力 (10) g.=M2e,+M2e。+M1ea, 和剪应力. LT=Mayr 1.2带钢轴对称变形的物理方程 1.4带钢厚度与钢卷半径轴向分布模型钢卷弹塑性本构关系的张量形式可以表示为带钢在宽度方向存在局部高点或厚差，因此厚度 ey=e。+eg=-2n E O+AS (3) 分布可以通过带钢凸度和局部高点描述切： h(z)=h(z)+y(z). (11) 式中，E为带钢弹性模量，v为泊松比，e,为应变球张其中，带钢凸度和局部高点的轴向厚度分布函数分量，om为应力球张量，δ为单位球张量，e,为应变偏张别为量，S为应力偏张量，8：和σ：分别为应变强度和应力强度，入为应变偏量与应力偏量间的比例系数.对于弹 k)=九{-6(g)]+6号+6号} 性变形，A=12G,G为剪切弹性模量；对于弹塑性变 (12) 形，比例系数入与位置及载荷水平有关，入=3ε：2σ Y(2)=Ko+KX,+K2. (13) 带钢的弹塑性判定采用Mse屈服条件：式中，h。表示带钢中部厚度，b为带钢半宽，c、coc和

管健龙等: 冷轧带钢局部高点卷取过程起筋控制的建模与仿真建立了可用于在线计算的卷取应力和起筋量模型．在此基础上，基于应力函数假设和 S． Timoshenko 最小功原理获得了起筋带钢的应力场分布，并采用伽辽金虚位移法建立了可用于在线计算的起筋临界卷取张力设定模型，为起筋在线控制提供了理论依据．图 1 起筋现象 Fig． 1 Phenomenon of ridge-buckle defects 1 带钢卷取时应力和起筋量解析模型 1. 1 带钢轴对称变形的几何方程和平衡方程钢卷可以看成是轴对称的各向异性体，即带钢的应变、应力分布与极角无关．带钢卷取时柱坐标下的的应变--位移几何方程及力的平衡微分方程［4 － 5］可以表示为: εr = u r ，εθ = u r ， εz = w z ，γzr = u z + w r { ． ( 1) σr r + τzr z + σr － σi r = 0， σz z + τzr r + τzr r { = 0． ( 2) 式中，εr、εθ、εz 和 γzr分别为钢卷径向应变、周向应变、轴向应变和剪应变，u 为径向位移，w 为轴向位移，σr、 σi、σz 和 τzr分别为钢卷径向应力、周向应力、轴向应力和剪应力． 1. 2 带钢轴对称变形的物理方程钢卷弹塑性本构关系的张量形式可以表示为 εij = εii + eij = 1 － 2v E σm δij + λSij． ( 3) 式中，E 为带钢弹性模量，v 为泊松比，εij 为应变球张量，σm 为应力球张量，δij为单位球张量，eij为应变偏张量，Sij为应力偏张量，εi和 σi分别为应变强度和应力强度，λ 为应变偏量与应力偏量间的比例系数．对于弹性变形，λ = 1 /2G，G 为剪切弹性模量; 对于弹塑性变形，比例系数 λ 与位置及载荷水平有关，λ = 3εi /2σi ．带钢的弹塑性判定采用 Mise 屈服条件: ( σr － σi ) 2 + ( σi － σz ) 2 + ( σz － σr ) 2 + 6τ 2 zr = 2σ2 s ． ( 4) 式中，σs 为带钢的屈服强度．钢卷在卷取过程中，外层带钢压力使内层带钢产生周向压缩变形 εθ，引起的带钢张力消失可表示为［6］ σθ = σ0 － σi ． ( 5) 式中，σ0 为带钢卷取张力轴向分布，σi 为卷取 n 圈时第 i 圈带钢的实际周向张力． 1. 3 带钢塑性流动因子的引入带钢卷取过程中，除局部高点外的大部分区域，带钢的塑性流动是极其有限的．但是，在局部高点附近，由于局部高点累积叠加，引起径向和轴向应力不均匀分布，并形成金属塑性流动．因此，带钢起筋中部与边部横向流动差异较大．为了对带钢塑性流动状态进行描述，本文引入塑性流动因子的表述，定义带钢塑性流动因子为 K = ez / eθ ． ( 6) 根据体积不变原理，有: er + eθ + ez = 0． ( 7) 式中，ez为轴向应变偏张量，eθ为周向应变偏张量，er为径向应变偏张量．应变偏张量与应力偏张量间的关系为 er 2σr － σi － σz = eθ 2σi － σr － σz = ez 2σz － σr － σi = λ． ( 8) 将式( 6) 和式( 7) 代入式( 8) ，即可得出钢卷轴向、周向和径向应力偏张量间的关系: ( 2K + 1) σi + ( 1 － K) σr = ( 2 + K) σz ( 9) 将式( 9) 代入弹塑性物理方程中，从而将带钢塑性流动条件合理地引入差分计算．使用克莱姆 ( Cramer) 法则求解线性方程组，即可得到钢卷各单元应力与应变的关系，其中 M1 ～ M4为线性方程组系数: σr = M1εr + M2εθ + M2εz， σi ( z) = － M2εr － M1εθ － M2εz － M3σ0， σz = M2εr + M2εθ + M1εz， τzr = M4γzr      ． ( 10) 1. 4 带钢厚度与钢卷半径轴向分布模型带钢在宽度方向存在局部高点或厚差，因此厚度分布可以通过带钢凸度和局部高点描述［7］: h( z) = hw ( z) + Yr ( z) ． ( 11) 其中，带钢凸度和局部高点的轴向厚度分布函数分别为 hw ( z) = h0 { [ 1 － c0 ( | z| ) b ] c + c1 | z| b + c2 | z| b } 2 ， ( 12) Yr ( z) = χ0 + χ1Xr + χ2X2 r ． ( 13) 式中，h0 表示带钢中部厚度，b 为带钢半宽，c、c0、c1 和 · 5801 ·

·1086· 工程科学学报，第37卷，第8期 c2为带钢凸度轮廓系数，X,为起筋宽度系数X。X和 (开始 X2为局部高点轮廓系数钢卷半径轴向分布可以通过下式计算圆：输入计算参数和相关系数 r (2)=r(2)+h(a)+1(a). (14) 根据卷取层数划分网格，式中，ln(z)为钢卷层间间隙，ln（z)=l。e,l。为钢卷设定径向、轴向节点数m,n 最外层带钢的层间间隙，w为径向压缩系数，P为层间根据比例系数入、塑性流动因数K和厚度径向压力. 分布计算各节点弹塑性差分方程系数径向位移u和轴向位移w可以用变量为r和z的函数表示.设u=∫(r,z)和w=((r,z),则径向与轴计算边界差分方程系数，形成整体方程系数矩阵R,LU分解法求解线性方程组RX=b 向位移的各阶差分方程可以表示为∫(r,z)和g(r,) 的形式.将式(1)、式(2)、式(11)、式(14)和位移差分计算得出径向位移、方程代入式(10)中，这样，在钢卷内部就得到了用两轴向位移个位移函数表示的差分方程，它包括了平衡条件、物理修正代入应力差分方程计算方程和几何方程： .Ar 应力，由物理方程得出应变 Sti-Sfj++ss (+f)+ 厂 S6(gw1-w-i）+S,(g1+6i-l-1- 根据各节点应力根据各节点应变 5-1-5i）-S,=0, 反算入、人反算ra △<？△Ke? 、否 Li1+f--1-f-1-fi）+L21- △reE？ f-）+L,(G1+5-i）+L51+ L55-1-L6=0. 输出结果 (15) (结束式中，S和L为差分方程系数，∫(r,z)和((r,z)分别图2模型计算流程为钢卷径向和轴向位移函数. Fig.2 Calculation process of the coiling strip stress model 2卷取应力与起筋量解析模型的仿真研究引起径向和周向应力集中四，是导致等效应力骤增的 2.1卷取应力与起筋量模型的计算流程主要原因.钢卷各层带钢等效应力随卷径增加先减小卷取应力与起筋量模型的计算流程见图2.首先后增大，在钢卷最外层达到最大值.因此，钢卷最外层对钢卷进行网格划分，设定径向和轴向节点数分别为带钢最容易产生起筋现象，若钢卷最外层带钢没有发 m和n,假定比例系数入和塑性流动因子K,形成整体生起筋现象，则钢卷内部各层带钢均不会起筋. 方程系数矩阵.通过LU分解法求解线性方程组，得出 2.3各模型参数与起筋量间的关系径向位移“和轴向位移，并代入卷取应力差分方程基于数学仿真软件Mathematica,针对表I所示的和物理方程，求出各节点的应力和应变，循环迭代修正工况参数，分别对卷径为300~900mm,带钢厚度各节点比例系数、塑性流动因子和卷径轴向分布. 0.5~1.0mm,局部高点高度为3~10um,卷取张力为 2.2起筋钢卷的应力场分布 20~50MPa的钢卷进行起筋量计算，计算结果如图4 针对表1所示的工况参数，对起筋钢卷的应力场所示.从图4中可以看出，起筋量随局部高点高度、卷分布进行仿真计算，结果如图3所示径和卷取张力增加而增大，薄的带钢比厚带钢起筋量增幅更加明显。因此，解决起筋问题最根本的还是要表1模型计算参数控制带钢的局部高点 Table 1 Calculated parameters 参数尺寸 3 数值参数尺寸数值起筋临界卷取张力解析模型钢卷内外径/mm 300/900 带钢宽度/mm 1000 在卷取过程中，由于钢卷的最外层带钢最容易产卷取张力/MPa 30 带钢厚度/mm 0.5 生起筋现象，因此对于起筋临界卷取张力的求解，可以弹性模量/GPa 205 局部高点/μm 5 简化为对钢卷最外层带钢屈曲临界张力的求解过程. 泊松比 0.3 高点位置带钢中部 3.1起筋带钢挠度函数由于起筋挠度沿带钢宽度方向急剧变化，因此在由图3可以看出，局部高点在钢卷径向累积叠加，宽度方向引入Hermitean多项式作为衰减函数，根据现

工程科学学报，第 37 卷，第 8 期 c2 为带钢凸度轮廓系数，Xr 为起筋宽度系数，χ0、χ1 和 χ2 为局部高点轮廓系数．钢卷半径轴向分布可以通过下式计算［8］: rn ( z) = rn － 1 ( z) + h( z) + ln ( z) ． ( 14) 式中，ln ( z) 为钢卷层间间隙，ln ( z) = l0 e － ωp ，l0 为钢卷最外层带钢的层间间隙，ω 为径向压缩系数，p 为层间径向压力．径向位移 u 和轴向位移 w 可以用变量为 r 和 z 的函数表示．设 u = f ( r，z) 和 w = ζ( r，z) ，则径向与轴向位移的各阶差分方程可以表示为 f ( r，z) 和 ζ ( r，z) 的形式．将式( 1) 、式( 2) 、式( 11) 、式( 14) 和位移差分方程代入式( 10) 中，这样，在钢卷内部就得到了用两个位移函数表示的差分方程，它包括了平衡条件、物理方程和几何方程: S1 fi － 1，j － S2 fi，j + S3 fi + 1，j + S5 ( fi，j + 1 + fi，j － 1 ) + S6 ( ζi，j + 1 － ζi，j － 1 ) + S4 ( ζi + 1，j + 1 + ζi － 1，j － 1 － ζi + 1，j － 1 － ζi － 1，j + 1 ) － S7 σ0 r = 0， L1 ( fi + 1，j + 1 + fi － 1，j － 1 － fi + 1，j － 1 － fi － 1，j + 1 ) + L2 ( fi，j + 1 － fi，j － 1 ) + L3 ( ζi，j + 1 + ζi，j － 1 ) + L4 ζi + 1，j + L5 ζi － 1，j － L6 ζi，j = 0            ． ( 15) 式中，S 和 L 为差分方程系数，f ( r，z) 和 ζ ( r，z) 分别为钢卷径向和轴向位移函数． 2 卷取应力与起筋量解析模型的仿真研究 2. 1 卷取应力与起筋量模型的计算流程卷取应力与起筋量模型的计算流程见图 2．首先对钢卷进行网格划分，设定径向和轴向节点数分别为 m 和 n，假定比例系数 λ 和塑性流动因子 K，形成整体方程系数矩阵．通过 LU 分解法求解线性方程组，得出径向位移 u 和轴向位移 w，并代入卷取应力差分方程和物理方程，求出各节点的应力和应变，循环迭代修正各节点比例系数、塑性流动因子和卷径轴向分布． 2. 2 起筋钢卷的应力场分布针对表 1 所示的工况参数，对起筋钢卷的应力场分布进行仿真计算，结果如图 3 所示．表 1 模型计算参数 Table 1 Calculated parameters 参数尺寸数值参数尺寸数值钢卷内外径/mm 300 /900 带钢宽度/mm 1000 卷取张力/MPa 30 带钢厚度/mm 0. 5 弹性模量/GPa 205 局部高点/μm 5 泊松比 0. 3 高点位置带钢中部由图 3 可以看出，局部高点在钢卷径向累积叠加，图 2 模型计算流程 Fig． 2 Calculation process of the coiling strip stress model 引起径向和周向应力集中［9］，是导致等效应力骤增的主要原因．钢卷各层带钢等效应力随卷径增加先减小后增大，在钢卷最外层达到最大值．因此，钢卷最外层带钢最容易产生起筋现象，若钢卷最外层带钢没有发生起筋现象，则钢卷内部各层带钢均不会起筋． 2. 3 各模型参数与起筋量间的关系基于数学仿真软件 Mathematica，针对表 1 所示的工况参数，分别对卷径为 300 ～ 900 mm，带钢厚度 0. 5 ～ 1. 0 mm，局部高点高度为 3 ～ 10 μm，卷取张力为 20 ～ 50 MPa 的钢卷进行起筋量计算，计算结果如图 4 所示．从图 4 中可以看出，起筋量随局部高点高度、卷径和卷取张力增加而增大，薄的带钢比厚带钢起筋量增幅更加明显．因此，解决起筋问题最根本的还是要控制带钢的局部高点． 3 起筋临界卷取张力解析模型在卷取过程中，由于钢卷的最外层带钢最容易产生起筋现象，因此对于起筋临界卷取张力的求解，可以简化为对钢卷最外层带钢屈曲临界张力的求解过程． 3. 1 起筋带钢挠度函数由于起筋挠度沿带钢宽度方向急剧变化，因此在宽度方向引入 Hermitean 多项式作为衰减函数，根据现 · 6801 ·

·1088· 工程科学学报，第37卷，第8期式中，r为钢卷半径，h为带钢厚度，E为弹性模量，v为应力函数各系数A1A,和A,可通过余能定理和最泊松比. 小功原理进行求解，从而得出应力函数φ，即前屈曲应力场分布. ∫[品()+品()+ 2器品()小h=0 (22) 3.4临界卷取张力计算模型图5钢卷起筋最外层带钢受力分析钢卷最外层带钢的几何模型可以简化为厚度为带 Fig.5 Force analysis of the outmost layer coiling strip with a ridge- 钢厚度、半径为钢卷最大卷径的圆柱壳.圆柱壳的变 buckle defect 形协调方程和曲面微分方程分别为☒ 考虑到带钢起筋部位的应力集中现象，局部附加 +蓝=-+()s) 1 张力轴向分布采用高斯函数形式： x子y 0=Ao,e()2 (19) 式中，k,为应力集中系数，b为带钢半宽. w-加- h 带钢的周向应力分布由卷取张力和局部高点引起 dw do 的局部附加张力两部分组成： eg+fu.de-2× (24) a'x a'y a子yax ax dy dx dy N,=h(as,+os),xE [-b,b]. (20) 式中，h为带钢厚度，o、,为带钢卷取张力，0s,为局部附式中，D为带钢的抗弯刚度，加张力 Eh' 3.3起筋带钢弹性应力场求解 D=120-) 对于边界载荷产生的应力场求解，可以引入Aiy 对曲面微分方程进行运算，并将应力函数应力函数Φ(x,y),使其满足平衡方程、本构关系、物理和曲面微分方程代入变形协调方程中，得到分析起筋方程、变形协调方程以及边界条件.将应力函数用级临界卷取张力的八阶微分方程：数形式表示，并取前三项近似求解@： =Ac,e(d+ DP+a(号杂-a如)=N(话✉) =-)(-), 2(r✉)+（层✉） (25) ---)茶采用伽辽金虚位移法进行求解，并从已知的应力场分布搜索一个带钢起筋区域[-b.,b],使带钢在此 (1-)(1-) 区域内起筋获得的卷取张力最小，即带钢起筋的临界卷取张力： (21) 广{+2,()-(+-a，( wdxdy 0N= h广（w)ad (26) 3.5钢卷最外层带钢应力场仿真研究张力不均匀分布和轴向压应力是导致带钢起筋的根对表1所示的工况参数进行钢卷最外层带钢的应源.另外，带钢宽度在Ix/亿|≤0.2的轴向应力几乎没力场仿真计算，计算结果如图6所示有差别，而带钢宽度在0.20.2的范分布，带钢宽度在Ix/b1≤0.4的范围内存在轴向压应围是十分困难的.因此，对于中部存在局部高点的带力区，且等效应力在带钢中部1x/儿1≤0.2范围时达到钢，起筋多发生于带钢中部和距离带钢中部100~ 幅值.因此，局部高点在径向累积叠加所引起的带钢 200mm的范围

工程科学学报，第 37 卷，第 8 期式中，rn为钢卷半径，h 为带钢厚度，E 为弹性模量，v 为泊松比．图 5 钢卷起筋最外层带钢受力分析 Fig． 5 Force analysis of the outmost layer coiling strip with a ridgebuckle defect 考虑到带钢起筋部位的应力集中现象，局部附加张力轴向分布采用高斯函数形式: σSy = Δσy e － ( x b × k ) N 2 ． ( 19) 式中，kN为应力集中系数，b 为带钢半宽．带钢的周向应力分布由卷取张力和局部高点引起的局部附加张力两部分组成: Ny = h( σNy + σSy ) ，x∈［－ b，b］． ( 20) 式中，h 为带钢厚度，σNy为带钢卷取张力，σSy为局部附加张力． 3. 3 起筋带钢弹性应力场求解对于边界载荷产生的应力场求解，可以引入 Airy 应力函数 φ( x，y) ，使其满足平衡方程、本构关系、物理方程、变形协调方程以及边界条件．将应力函数用级数形式表示，并取前三项近似求解［10］: φ = Δσy e － ( x b ×k ) N 2 dxdx + A1φ1 + A2φ2 + A3φ3， φ1 ( = 1 － x 2 b 2 ) ( 2 1 － y 2 a2 ) 2 ， φ2 ( = 1 － x 2 b 2 ) ( 2 1 － y 2 a2 ) 2 x 2 b 2 ， φ3 ( = 1 － x 2 b 2 ) ( 2 1 － y 2 a2 ) 2 y 2 a2            ． ( 21) 应力函数各系数 A1、A2和 A3可通过余能定理和最小功原理进行求解，从而得出应力函数 φ，即前屈曲应力场分布． ∫ a －a ∫ b [ －b  2 φ y 2  A (i  2 φ y 2 ) +  2 φ x 2  A (i  2 φ x 2 ) + 2  2 φ x y  A (i  2 φ x  ) ] y dxdy = 0． ( 22) 3. 4 临界卷取张力计算模型钢卷最外层带钢的几何模型可以简化为厚度为带钢厚度、半径为钢卷最大卷径的圆柱壳．圆柱壳的变形协调方程和曲面微分方程分别为［11 － 12］ 1 E 4 Δ φ + 1 rn  2 w x 2 = －  2 w  2 x  2 w  2 y ( +  2 w x  ) y 2 ，( 23) D h 4 Δ w － 1 rn  2 φ x 2 － Δσz =  2 w  2 x · 2 φ  2 y +  2 w  2 y · 2 φ  2 x － 2 ×  2 w x y ·  2 φ x y ． ( 24) 式中，D 为带钢的抗弯刚度， D = Eh3 12( 1 － v 2 ) ．对曲面微分方程进行 2 Δ 2 Δ 运算，并将应力函数和曲面微分方程代入变形协调方程中，得到分析起筋临界卷取张力的八阶微分方程: D 8 Δ w + ( h E r 2 n  4 w x 4 － Δσz ) = Ny (  2 y 2 4 Δ w ) － 2Nxy (  2 x y 4 Δ w ) + Nx (  2 x 2 4 Δ w ． ) ( 25) 采用伽辽金虚位移法进行求解，并从已知的应力场分布搜索一个带钢起筋区域［－ bw，bw］，使带钢在此区域内起筋获得的卷取张力最小，即带钢起筋的临界卷取张力: σNy = ∫ a －a ∫ bw －b {w D 8 Δ w + 2Nxy (  2  x  y 4 Δ w － N ) x (  2  x 2 4 Δ w + h ) [ E r 2 n  4 w  x 4 － Δσz － σSy (  2  y 2 4 Δ w w ) ] } dxdy h∫ a －a ∫ bw －b ( w  2  y 2 4 Δ w w) dxdy ． ( 26) 3. 5 钢卷最外层带钢应力场仿真研究对表 1 所示的工况参数进行钢卷最外层带钢的应力场仿真计算，计算结果如图 6 所示．从图 6 中可以看出，由于带钢周向应力的不均匀分布，带钢宽度在 | x / b | ≤0. 4 的范围内存在轴向压应力区，且等效应力在带钢中部 | x / b | ≤0. 2 范围时达到幅值．因此，局部高点在径向累积叠加所引起的带钢张力不均匀分布和轴向压应力是导致带钢起筋的根源．另外，带钢宽度在 | x / b | ≤0. 2 的轴向应力几乎没有差别，而带钢宽度在 0. 2 ＜ | x / b | ＜ 0. 4 的轴向应力要小得多，这意味着起筋区域扩展到 | x / b | ＞ 0. 2 的范围是十分困难的．因此，对于中部存在局部高点的带钢，起筋多发生于带钢中部和距离带钢中部100 ～ 200 mm的范围． · 8801 ·

管健龙等：冷轧带钢局部高点卷取过程起筋控制的建模与仿真 ·1089· 100 120 100 120 000 80 0 0 1.0 60 1.0 21.0 0.5 0.5 0.5 0.5 0 带钢半长 0 0 带钢半宽 .5 0.5 20 带钢半宽 05 带钢半长 50 -05 -1.01.0 -1.01.0 (e) 10 150 5 6062 100 0 18820060 1.0 1.0 1.0 0.5 5 05 0.5 50 0 0 带钢半长 10 0 带钢半长 0 带钢半宽 0.5 0.5 带锅半宽 0.5 0.5 -1.01.0 0 -1.0-1.0 图6起筋钢卷最外层带钢应力场分布.(a)周向应力场：(b)轴向应力场：()剪切应力场：()等效应力场 Fig.6 Stress distribution of the outermost layer with a ridge-buckle:(a)circumferential stress field:(b)axial stress field;(c)shear stress field; (d)equivalent stress field 3.6各模型参数与临界卷取张力间的关系点高度增加而减小，在相同卷取张力下，厚带钢比薄带基于数学仿真软件Mathematica,针对表1所示的钢更容易屈曲变形.钢卷半径对临界卷取张力的影响工况参数，分别对卷径为300~900mm,带钢厚度非常大，半径在500~1000mm时，临界卷取张力变化 0.5~1.0mm,局部高点高度为3~10μm的钢卷进行范围为10.6~30.9MPa.因此，对于存在小局部高点起临界卷取张力计算，计算结果如图7所示.从图7 的薄带钢可以适当减小卷取张力，而对于存在大局部中可以看出，起筋临界卷取张力随带钢厚度和局部高高点的厚带钢，应大幅减小卷取张力或进行分卷处理 30 局部高点高度a ② -3 um 36 -■-5m 30 带钢厚度=0.5mm 47m -◆-一10μm 25 钢卷半径-900mm 期局部高点高度 15 10 -3m 10 4-5μm 5 5 --10m 0.8 1.1 14 1.7 20 501 600 700800 900 1000 带钢厚度/mm 钢卷半径mm 图7各模型参数与临界卷取张力间的关系.()临界卷取张力与带钢厚度间的关系：(b)临界卷取张力与钢卷半径间的关系 Fig.7 Relationships between model parameters and critical coiling tension:(a)relationship between critical coiling tension and strip thickness;(b) relationship between critical coiling tension and coil diameter 4有限元仿真与生产验证筋的卷取张力设定方法四，有效地解决了彩涂基料中部起筋问题，提高了彩涂产品的成材率和产品表面质通过对某厂彩涂基料镀锌卷取后出现的中部起筋量.商业有限元分析软件作为高精度的仿真工具，其问题进行深入研究，本课题组给出了一种控制带钢起精度已被众多实际过程验证.以表1所示的参数对

管健龙等: 冷轧带钢局部高点卷取过程起筋控制的建模与仿真图 6 起筋钢卷最外层带钢应力场分布． ( a) 周向应力场; ( b) 轴向应力场; ( c) 剪切应力场; ( d) 等效应力场 Fig． 6 Stress distribution of the outermost layer with a ridge-buckle: ( a) circumferential stress field; ( b) axial stress field; ( c) shear stress field; ( d) equivalent stress field 3. 6 各模型参数与临界卷取张力间的关系基于数学仿真软件 Mathematica，针对表 1 所示的工况参数，分别对卷径为 300 ～ 900 mm，带钢厚度 0. 5 ～ 1. 0 mm，局部高点高度为 3 ～ 10 μm 的钢卷进行起临界卷取张力计算，计算结果如图 7 所示．从图 7 中可以看出，起筋临界卷取张力随带钢厚度和局部高点高度增加而减小，在相同卷取张力下，厚带钢比薄带钢更容易屈曲变形．钢卷半径对临界卷取张力的影响非常大，半径在 500 ～ 1000 mm 时，临界卷取张力变化范围为 10. 6 ～ 30. 9 MPa．因此，对于存在小局部高点的薄带钢可以适当减小卷取张力，而对于存在大局部高点的厚带钢，应大幅减小卷取张力或进行分卷处理．图 7 各模型参数与临界卷取张力间的关系 . ( a) 临界卷取张力与带钢厚度间的关系; ( b) 临界卷取张力与钢卷半径间的关系 Fig． 7 Ｒelationships between model parameters and critical coiling tension: ( a) relationship between critical coiling tension and strip thickness; ( b) relationship between critical coiling tension and coil diameter 4 有限元仿真与生产验证通过对某厂彩涂基料镀锌卷取后出现的中部起筋问题进行深入研究，本课题组给出了一种控制带钢起筋的卷取张力设定方法［13］，有效地解决了彩涂基料中部起筋问题，提高了彩涂产品的成材率和产品表面质量．商业有限元分析软件作为高精度的仿真工具，其精度已被众多实际过程验证［14］．以表 1 所示的参数对 · 9801 ·

·1090· 工程科学学报，第37卷，第8期钢卷进行ANSYS有限元仿真，钢卷的起筋临界卷取张力为22.8MPa,最外层带钢等效应力云图如图8所示， 1.850x10 与图3和图6相同模型参数求得的等效应力分布结果 1.665×103 1.480x10 致. 1.295×10 从图9起筋量模型和临界卷取张力模型的对比分 1.110x108 9.251×107 析数据可以看出：本文提出的起筋量和临界卷取张力 7401×107 计算模型与ANSYS仿真结果基本相同：而弹性起筋量 5.551×10 3.701×10 计算模型由于忽略了带钢局部塑性变形和金属塑性流 1.850x10 动，导致其结果精度较低。实际生产中带钢起筋卷取 0 张力设定值都略小于本模型计算的临界卷取张力，因此在卷取过程中可以避免起筋情况的发生图8卷取等效应力云图（单位：Pa) Fig.8 Equivalent stress of coiling strips (unit:Pa) 700 25 (b) 局部高点-5m: 一本文临界卷取张力模型 600 卷取张力-40MP 20f、一·-有限元法(ANSYS) -实际生控制方法 500 带钢厚度-0.5mm 400 10 300 一◆一本文弹塑性起筋量模型局部高点=5m: 200 ·▲~弹性起筋量模型钢卷半径-900mm 有限元法(ANSYS) 10 500 600 700 800 900 0.5 0.8 1.1 1.4 L.7 2.0 卷取半径mm 带钢厚度mm 图9起筋量模型(a)和临界卷取张力模型(b)的对比 Fig.9 Comparison of ridge-buckle models (a)and critical coiling tension models (b) Conference on Metal Forming.Cracow,2008:424 5结论 4]Jung Y J,Lee G T,Kang C G.Coupled thermal deformation (1)本文利用三维弹塑性变形基本理论，并引入 analysis considering strip tension and with/without strip crown in 带钢塑性流动因子，建立了卷取应力和起筋量模型，并 coiling process of cold rolled strip.J Mater Process Technol, 2012,130H31:195 基于应力函数假设和S.Timoshenko最小功原理获得 [5] Qi X D,Li J H,Lian J C,et al.Influence of hot strip local hard- 了起筋带钢的应力场分布，采用伽辽金虚位移法建立 ness on cold strip shape.Iron Steel,2005,40(3):47 了可用于在线计算的起筋临界卷取张力设定模型 (戚向东，李俊洪，连家创，等。热轧带钢局部硬度对冷轧带 (2)通过建立带钢卷取有限元仿真模型和弹性起钢板形的影响.钢铁，2005,40(3)：47) 筋量模型与本文模型和实际生产控制方法进行对比， [6] Bai Z H,Liu X D H,Li X D,et al.research about the measure 验证了本模型的计算精度和可行性. of ribbing quantity and influence factors of cold-rolled coils.fron Steel,2004,39(12):41 (3)在本文提出的模型中，首次对起筋量和起筋 (白振华，刘献东，李兴东，等.冷轧钢卷起筋量的测量及其临界卷取张力的影响因素进行了定量的分析，得出了影响因素的研究.钢铁，2004,39(12)：41) 影响起筋的相关规律 ] Wang Y Q,Li L,Yan X C,et al.Modeling of stress distribution during strip coiling process.J fron Steel Res Int,2012,19 (8):6 参考文献 [8]Zhu HT,Tieu A K,Dippenaar R J,et al.Effect of hot coil pro- Melfo W M,Dippenaar R J,Carter C D.Ridgebuckle defect in file containing ridges on ridge-buckle defects of cold rolled thin thin-tolled steel strip.fron Steel Technol,2006,3(8):54 strip.Int J Mater Form,2010,3(1):21 Jin Y H.Research on the Ribbing of Cold Rolling Strip Disserta- 9]Lian JC.Theory of Straightening and Coiling.Beijing:Mechani- tion].Beijing:University of Science and Technology Beijing, cal Industry Press,2011 2007 (连家创.矫直理论与卷取理论.北京：机械工业出板社， (靳月华.冷轧带钢起筋问题研究[学位论文].北京：北京科 2011) 技大学，2007) [10]Yazdi AA.Applicability of homotopy perturbation method to B]Zhu H T,Lu C,Tieu A K,et al.A mathematical model for the study the nonlinear vibration of doubly curved cross-ply shells prediction of ridge deformation in cold rolling //12th International Compos Struct,2013,96:526

工程科学学报，第 37 卷，第 8 期钢卷进行 ANSYS 有限元仿真，钢卷的起筋临界卷取张力为 22. 8 MPa，最外层带钢等效应力云图如图 8 所示，与图 3 和图 6 相同模型参数求得的等效应力分布结果一致．从图 9 起筋量模型和临界卷取张力模型的对比分析数据可以看出: 本文提出的起筋量和临界卷取张力计算模型与 ANSYS 仿真结果基本相同; 而弹性起筋量计算模型由于忽略了带钢局部塑性变形和金属塑性流动，导致其结果精度较低．实际生产中带钢起筋卷取张力设定值都略小于本模型计算的临界卷取张力，因此在卷取过程中可以避免起筋情况的发生．图 8 卷取等效应力云图( 单位: Pa) Fig． 8 Equivalent stress of coiling strips ( unit: Pa) 图 9 起筋量模型( a) 和临界卷取张力模型( b) 的对比 Fig． 9 Comparison of ridge-buckle models ( a) and critical coiling tension models ( b) 5 结论 ( 1) 本文利用三维弹塑性变形基本理论，并引入带钢塑性流动因子，建立了卷取应力和起筋量模型，并基于应力函数假设和 S． Timoshenko 最小功原理获得了起筋带钢的应力场分布，采用伽辽金虚位移法建立了可用于在线计算的起筋临界卷取张力设定模型． ( 2) 通过建立带钢卷取有限元仿真模型和弹性起筋量模型与本文模型和实际生产控制方法进行对比，验证了本模型的计算精度和可行性． ( 3) 在本文提出的模型中，首次对起筋量和起筋临界卷取张力的影响因素进行了定量的分析，得出了影响起筋的相关规律．参考文献［1］ Melfo W M，Dippenaar Ｒ J，Carter C D．Ｒidge-buckle defect in thin-rolled steel strip． Iron Steel Technol，2006，3( 8) : 54 ［2］ Jin Y H．Ｒesearch on the Ｒibbing of Cold Ｒolling Strip［Dissertation］． Beijing: University of Science and Technology Beijing， 2007 ( 靳月华．冷轧带钢起筋问题研究［学位论文］．北京: 北京科技大学，2007) ［3］ Zhu H T，Lu C，Tieu A K，et al． A mathematical model for the prediction of ridge deformation in cold rolling / / 12th International Conference on Metal Forming． Cracow，2008: 424 ［4］ Jung Y J ，Lee G T，Kang C G． Coupled thermal deformation analysis considering strip tension and with /without strip crown in coiling process of cold rolled strip． J Mater Process Technol， 2012，130-131: 195 ［5］ Qi X D，Li J H，Lian J C，et al． Influence of hot strip local hardness on cold strip shape． Iron Steel，2005，40( 3) : 47 ( 戚向东，李俊洪，连家创，等．热轧带钢局部硬度对冷轧带钢板形的影响．钢铁，2005，40( 3) : 47) ［6］ Bai Z H，Liu X D H，Li X D，et al． research about the measure of ribbing quantity and influence factors of cold-rolled coils． Iron Steel，2004，39( 12) : 41 ( 白振华，刘献东，李兴东，等．冷轧钢卷起筋量的测量及其影响因素的研究．钢铁，2004，39( 12) : 41) ［7］ Wang Y Q，Li L ，Yan X C，et al． Modeling of stress distribution during strip coiling process． J Iron Steel Ｒes Int，2012，19( 8) : 6 ［8］ Zhu H T，Tieu A K，Dippenaar Ｒ J，et al． Effect of hot coil profile containing ridges on ridge-buckle defects of cold rolled thin strip． Int J Mater Form，2010，3( 1) : 21 ［9］ Lian J C． Theory of Straightening and Coiling． Beijing: Mechanical Industry Press，2011 ( 连家创．矫直理论与卷取理论．北京: 机械工业出版社， 2011) ［10］ Yazdi A A． Applicability of homotopy perturbation method to study the nonlinear vibration of doubly curved cross-ply shells． Compos Struct，2013，96: 526 · 0901 ·