工程科学学报，第37卷，第8期：1084-1091,2015年8月 Chinese Journal of Engineering,Vol.37,No.8:1084-1091,August 2015 D0l:10.13374/j.issn2095-9389.2015.08.017:http://journals..ustb.edu.cn 冷轧带钢局部高点卷取过程起筋控制的建模与仿真 管健龙”，何安瑞”，孙文权”四，郭睿2) 1)北京科技大学高效轧制国家工程研究中心，北京1000832)首都航天机械公司，北京100076 ☒通信作者，E-mail:wqsun18@gmail.com 摘要为了研究带钢局部高点卷取起筋的控制方法，利用三维弹塑性变形基本理论，并引入带钢塑性流动因子，建立了弹 塑性卷取应力和起筋量模型.基于应力函数假设、S.Timoshenko最小功原理和伽辽金虚位移法建立了起筋带钢的应力场分 布和可用于在线计算的起筋临界卷取张力设定模型.仿真结果表明：局部高点在径向累积叠加所引起的带钢张力不均匀分 布和轴向压应力是导致带钢起筋的主要原因：起筋量随局部高点高度、卷径和卷取张力增加而增大，薄带钢比厚带钢起筋量 增幅明显；临界卷取张力随卷径、带钢厚度和局部高点高度增大而减小 关键词冷轧：带钢：卷取：板形控制：弹塑性分析：模拟：有限元法 分类号TG335.5 Modeling and simulation of ridge-buckle control in the coiling process of cold rolling strips with local high points GUAN Jian-long",HE An-rui,SUN Wen-quan,GUO Rui) 1)National Engineering Research Center for Advanced Rolling,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)Capital Spaceflight Machinery Co.Ltd.,Beijing 100076,China Corresponding author,E-mail:wqsunl8@gmail.com ABSTRACT In order to research the ridge-buckle control method in the coiling process of steel strips with local high points,elasto- plastic stress and ridge-buckle models are established by using the theory of three-dimensional elastoplastic deformation and introducing a plastic flow factor.Then a stress distribution model of ridge-buckle strips and an online setting model of buckling critical coiling tension are derived from the hypothesis of stress functions,the S.Timoshenko principle of least work,and the theory of Galerkin virtu- al displacement.Simulation results show that the uneven distribution of strip tension and axial compressive stress caused by radial accumulation of local high points is the main cause of strip ridge-buckles.The ridge-buckle quantity increases when the local high point's height,coiling diameter and coiling tension increase:the ridge-buckle of a thin strip is more obvious than that of a thick one. The critical coiling tension decreases with the increase of strip thickness,the local high point's height and coiling radius. KEY WORDS cold rolling:strip steel:coiling:shape control:elastoplastic analysis;modeling:finite element method 起筋缺陷是指带材在卷取过程中，由于局部高点 亟待解决的技术难题四。目前，关于起筋问题的研究， 沿径向逐层累加而在钢卷表面形成的一种“鼓包”现 卷取应力和起筋量计算方法都是基于弹性理论网：而 象，如图1所示.当起筋量较大时，开卷后在起筋部位 在实际卷取过程中，起筋达到一定高度时，带钢产生局 表现为附加浪形，严重影响产品性能，造成产品降级或 部塑性变形和金属局部塑性流动.因此，弹性理论不 报废四.由于起筋现象机理复杂，多年来对其成因一 再适用于起筋带钢的卷取应力和起筋量计算.本文利 直未能得到理性的、正确的解释，成为严重困扰生产、 用三维弹塑性变形的理论，并提出带钢塑性流动因子， 收稿日期：201501-21 基金项目：中央高校基本科研业务费专项(FRF-HC-14O05)
工程科学学报，第 37 卷，第 8 期: 1084--1091，2015 年 8 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 37，No． 8: 1084--1091，August 2015 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2015． 08． 017; http: / /journals． ustb． edu． cn 冷轧带钢局部高点卷取过程起筋控制的建模与仿真 管健龙1) ，何安瑞1) ，孙文权1) ，郭 睿2) 1) 北京科技大学高效轧制国家工程研究中心，北京 100083 2) 首都航天机械公司，北京 100076 通信作者，E-mail: wqsun18@ gmail． com 摘 要 为了研究带钢局部高点卷取起筋的控制方法，利用三维弹塑性变形基本理论，并引入带钢塑性流动因子，建立了弹 塑性卷取应力和起筋量模型． 基于应力函数假设、S． Timoshenko 最小功原理和伽辽金虚位移法建立了起筋带钢的应力场分 布和可用于在线计算的起筋临界卷取张力设定模型． 仿真结果表明: 局部高点在径向累积叠加所引起的带钢张力不均匀分 布和轴向压应力是导致带钢起筋的主要原因; 起筋量随局部高点高度、卷径和卷取张力增加而增大，薄带钢比厚带钢起筋量 增幅明显; 临界卷取张力随卷径、带钢厚度和局部高点高度增大而减小． 关键词 冷轧; 带钢; 卷取; 板形控制; 弹塑性分析; 模拟; 有限元法 分类号 TG335. 5 Modeling and simulation of ridge-buckle control in the coiling process of cold rolling strips with local high points GUAN Jian-long1) ，HE An-rui1) ，SUN Wen-quan1) ，GUO Ｒui2) 1) National Engineering Ｒesearch Center for Advanced Ｒolling，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China 2) Capital Spaceflight Machinery Co． Ltd． ，Beijing 100076，China Corresponding author，E-mail: wqsun18@ gmail． com ABSTＲACT In order to research the ridge-buckle control method in the coiling process of steel strips with local high points，elastoplastic stress and ridge-buckle models are established by using the theory of three-dimensional elastoplastic deformation and introducing a plastic flow factor． Then a stress distribution model of ridge-buckle strips and an online setting model of buckling critical coiling tension are derived from the hypothesis of stress functions，the S． Timoshenko principle of least work，and the theory of Galerkin virtual displacement． Simulation results show that the uneven distribution of strip tension and axial compressive stress caused by radial accumulation of local high points is the main cause of strip ridge-buckles． The ridge-buckle quantity increases when the local high point’s height，coiling diameter and coiling tension increase; the ridge-buckle of a thin strip is more obvious than that of a thick one． The critical coiling tension decreases with the increase of strip thickness，the local high point’s height and coiling radius． KEY WOＲDS cold rolling; strip steel; coiling; shape control; elastoplastic analysis; modeling; finite element method 收稿日期: 2015--01--21 基金项目: 中央高校基本科研业务费专项( FＲF--IC--14--005) 起筋缺陷是指带材在卷取过程中，由于局部高点 沿径向逐层累加而在钢卷表面形成的一种“鼓包”现 象，如图 1 所示． 当起筋量较大时，开卷后在起筋部位 表现为附加浪形，严重影响产品性能，造成产品降级或 报废［1］． 由于起筋现象机理复杂，多年来对其成因一 直未能得到理性的、正确的解释，成为严重困扰生产、 亟待解决的技术难题［2］． 目前，关于起筋问题的研究， 卷取应力和起筋量计算方法都是基于弹性理论［3］; 而 在实际卷取过程中，起筋达到一定高度时，带钢产生局 部塑性变形和金属局部塑性流动． 因此，弹性理论不 再适用于起筋带钢的卷取应力和起筋量计算． 本文利 用三维弹塑性变形的理论，并提出带钢塑性流动因子
管健龙等：冷轧带钢局部高点卷取过程起筋控制的建模与仿真 ·1085· 建立了可用于在线计算的卷取应力和起筋量模型.在 (o,-g,)2+(o:-g)2+(g.-o,)2+6r2=2o 此基础上，基于应力函数假设和S.Timoshenko最小功 (4) 原理获得了起筋带钢的应力场分布，并采用伽辽金虚 式中，σ，为带钢的屈服强度 位移法建立了可用于在线计算的起筋临界卷取张力设 钢卷在卷取过程中，外层带钢压力使内层带钢产 定模型，为起筋在线控制提供了理论依据 生周向压缩变形。，引起的带钢张力消失可表示为网 0g=00-0 (5) 式中，0。为带钢卷取张力轴向分布，o:为卷取n圈时 第圈带钢的实际周向张力. 1.3带钢塑性流动因子的引入 带钢卷取过程中，除局部高点外的大部分区域，带 钢的塑性流动是极其有限的.但是，在局部高点附近， 由于局部高点累积叠加，引起径向和轴向应力不均匀 分布，并形成金属塑性流动.因此，带钢起筋中部与边 部横向流动差异较大.为了对带钢塑性流动状态进行 描述，本文引入塑性流动因子的表述，定义带钢塑性流 图1起筋现象 动因子为 Fig.1 Phenomenon of ridge-buckle defects K=e;leo (6) 根据体积不变原理，有： 1带钢卷取时应力和起筋量解析模型 e,+e。+e:=0. (7) 1.1带钢轴对称变形的几何方程和平衡方程 式中，e为轴向应变偏张量，e。为周向应变偏张量，e,为 钢卷可以看成是轴对称的各向异性体，即带钢的 径向应变偏张量 应变、应力分布与极角无关.带钢卷取时柱坐标下的 应变偏张量与应力偏张量间的关系为 的应变一位移几何方程及力的平衡微分方程可以 e. e =入. 表示为 20,-,-020.-,-020.-0,-0 (8) ir'6o=u e,- 将式(6)和式(7)代入式(8)，即可得出钢卷轴向、周向 (1) 正'su 5.= 和径向应力偏张量间的关系： dz ar (2K+1)g+(1-K)g,=(2+K)g,(9) g+m+,-0=0, 将式(9)代入弹塑性物理方程中，从而将带钢塑 ar dz r 性流动条件合理地引入差分计算.使用克莱姆 (2) ++2=0 (Cramer)法则求解线性方程组，即可得到钢卷各单元 az ar 应力与应变的关系，其中M,~M,为线性方程组系数： 式中，e,。e:和y分别为钢卷径向应变、周向应变、 「o,=M1e,+M2ea+M28:, 轴向应变和剪应变，u为径向位移，w为轴向位移，σ，、 g,(z)=-M28,-M1e。-M2e.-M3oo, σ：0：和T,分别为钢卷径向应力、周向应力、轴向应力 (10) g.=M2e,+M2e。+M1ea, 和剪应力. LT=Mayr 1.2带钢轴对称变形的物理方程 1.4带钢厚度与钢卷半径轴向分布模型 钢卷弹塑性本构关系的张量形式可以表示为 带钢在宽度方向存在局部高点或厚差，因此厚度 ey=e。+eg=-2n E O+AS (3) 分布可以通过带钢凸度和局部高点描述切： h(z)=h(z)+y(z). (11) 式中，E为带钢弹性模量，v为泊松比，e,为应变球张 其中，带钢凸度和局部高点的轴向厚度分布函数分 量，om为应力球张量，δ为单位球张量，e,为应变偏张 别为 量，S为应力偏张量，8：和σ：分别为应变强度和应力强 度，入为应变偏量与应力偏量间的比例系数.对于弹 k)=九{-6(g)]+6号+6号} 性变形，A=12G,G为剪切弹性模量；对于弹塑性变 (12) 形，比例系数入与位置及载荷水平有关，入=3ε：2σ Y(2)=Ko+KX,+K2. (13) 带钢的弹塑性判定采用Mse屈服条件： 式中，h。表示带钢中部厚度，b为带钢半宽，c、coc和
管健龙等: 冷轧带钢局部高点卷取过程起筋控制的建模与仿真 建立了可用于在线计算的卷取应力和起筋量模型． 在 此基础上，基于应力函数假设和 S． Timoshenko 最小功 原理获得了起筋带钢的应力场分布，并采用伽辽金虚 位移法建立了可用于在线计算的起筋临界卷取张力设 定模型，为起筋在线控制提供了理论依据． 图 1 起筋现象 Fig． 1 Phenomenon of ridge-buckle defects 1 带钢卷取时应力和起筋量解析模型 1. 1 带钢轴对称变形的几何方程和平衡方程 钢卷可以看成是轴对称的各向异性体，即带钢的 应变、应力分布与极角无关． 带钢卷取时柱坐标下的 的应变--位移几何方程及力的平衡微分方程［4 － 5］可以 表示为: εr = u r ，εθ = u r ， εz = w z ，γzr = u z + w r { ． ( 1) σr r + τzr z + σr － σi r = 0， σz z + τzr r + τzr r { = 0． ( 2) 式中，εr、εθ、εz 和 γzr分别为钢卷径向应变、周向应变、 轴向应变和剪应变，u 为径向位移，w 为轴向位移，σr、 σi、σz 和 τzr分别为钢卷径向应力、周向应力、轴向应力 和剪应力． 1. 2 带钢轴对称变形的物理方程 钢卷弹塑性本构关系的张量形式可以表示为 εij = εii + eij = 1 － 2v E σm δij + λSij． ( 3) 式中，E 为带钢弹性模量，v 为泊松比，εij 为应变球张 量，σm 为应力球张量，δij为单位球张量，eij为应变偏张 量，Sij为应力偏张量，εi和 σi分别为应变强度和应力强 度，λ 为应变偏量与应力偏量间的比例系数． 对于弹 性变形，λ = 1 /2G，G 为剪切弹性模量; 对于弹塑性变 形，比例系数 λ 与位置及载荷水平有关，λ = 3εi /2σi ． 带钢的弹塑性判定采用 Mise 屈服条件: ( σr － σi ) 2 + ( σi － σz ) 2 + ( σz － σr ) 2 + 6τ 2 zr = 2σ2 s ． ( 4) 式中，σs 为带钢的屈服强度． 钢卷在卷取过程中，外层带钢压力使内层带钢产 生周向压缩变形 εθ，引起的带钢张力消失可表示为［6］ σθ = σ0 － σi ． ( 5) 式中，σ0 为带钢卷取张力轴向分布，σi 为卷取 n 圈时 第 i 圈带钢的实际周向张力． 1. 3 带钢塑性流动因子的引入 带钢卷取过程中，除局部高点外的大部分区域，带 钢的塑性流动是极其有限的． 但是，在局部高点附近， 由于局部高点累积叠加，引起径向和轴向应力不均匀 分布，并形成金属塑性流动． 因此，带钢起筋中部与边 部横向流动差异较大． 为了对带钢塑性流动状态进行 描述，本文引入塑性流动因子的表述，定义带钢塑性流 动因子为 K = ez / eθ ． ( 6) 根据体积不变原理，有: er + eθ + ez = 0． ( 7) 式中，ez为轴向应变偏张量，eθ为周向应变偏张量，er为 径向应变偏张量． 应变偏张量与应力偏张量间的关系为 er 2σr － σi － σz = eθ 2σi － σr － σz = ez 2σz － σr － σi = λ． ( 8) 将式( 6) 和式( 7) 代入式( 8) ，即可得出钢卷轴向、周向 和径向应力偏张量间的关系: ( 2K + 1) σi + ( 1 － K) σr = ( 2 + K) σz ( 9) 将式( 9) 代入弹塑性物理方程中，从而将带钢塑 性流动条件合理地引入差分计算． 使 用 克 莱 姆 ( Cramer) 法则求解线性方程组，即可得到钢卷各单元 应力与应变的关系，其中 M1 ～ M4为线性方程组系数: σr = M1εr + M2εθ + M2εz， σi ( z) = － M2εr － M1εθ － M2εz － M3σ0， σz = M2εr + M2εθ + M1εz， τzr = M4γzr ． ( 10) 1. 4 带钢厚度与钢卷半径轴向分布模型 带钢在宽度方向存在局部高点或厚差，因此厚度 分布可以通过带钢凸度和局部高点描述［7］: h( z) = hw ( z) + Yr ( z) ． ( 11) 其中，带钢凸度和局部高点的轴向厚度分布函数分 别为 hw ( z) = h0 { [ 1 － c0 ( | z| ) b ] c + c1 | z| b + c2 | z| b } 2 ， ( 12) Yr ( z) = χ0 + χ1Xr + χ2X2 r ． ( 13) 式中，h0 表示带钢中部厚度，b 为带钢半宽，c、c0、c1 和 · 5801 ·
·1086· 工程科学学报，第37卷，第8期 c2为带钢凸度轮廓系数，X,为起筋宽度系数X。X和 (开始 X2为局部高点轮廓系数 钢卷半径轴向分布可以通过下式计算圆： 输入计算参数和相关系数 r (2)=r(2)+h(a)+1(a). (14) 根据卷取层数划分网格， 式中，ln(z)为钢卷层间间隙，ln（z)=l。e,l。为钢卷 设定径向、轴向节点数m,n 最外层带钢的层间间隙，w为径向压缩系数，P为层间 根据比例系数入、塑性流动因数K和厚度 径向压力. 分布计算各节点弹塑性差分方程系数 径向位移u和轴向位移w可以用变量为r和z的 函数表示.设u=∫(r,z)和w=((r,z),则径向与轴 计算边界差分方程系数，形成整体方程系数 矩阵R,LU分解法求解线性方程组RX=b 向位移的各阶差分方程可以表示为∫(r,z)和g(r,) 的形式.将式(1)、式(2)、式(11)、式(14)和位移差分 计算得出径向位移、 方程代入式(10)中，这样，在钢卷内部就得到了用两 轴向位移 个位移函数表示的差分方程，它包括了平衡条件、物理 修正 代入应力差分方程计算 方程和几何方程： .Ar 应力，由物理方程得出应变 Sti-Sfj++ss (+f)+ 厂 S6(gw1-w-i）+S,(g1+6i-l-1- 根据各节点应力 根据各节点应变 5-1-5i）-S,=0, 反算入、人 反算ra △<？△Ke? 、否 Li1+f--1-f-1-fi）+L21- △reE？ f-）+L,(G1+5-i）+L51+ L55-1-L6=0. 输出结果 (15) (结束 式中，S和L为差分方程系数，∫(r,z)和((r,z)分别 图2模型计算流程 为钢卷径向和轴向位移函数. Fig.2 Calculation process of the coiling strip stress model 2卷取应力与起筋量解析模型的仿真研究 引起径向和周向应力集中四，是导致等效应力骤增的 2.1卷取应力与起筋量模型的计算流程 主要原因.钢卷各层带钢等效应力随卷径增加先减小 卷取应力与起筋量模型的计算流程见图2.首先 后增大，在钢卷最外层达到最大值.因此，钢卷最外层 对钢卷进行网格划分，设定径向和轴向节点数分别为 带钢最容易产生起筋现象，若钢卷最外层带钢没有发 m和n,假定比例系数入和塑性流动因子K,形成整体 生起筋现象，则钢卷内部各层带钢均不会起筋. 方程系数矩阵.通过LU分解法求解线性方程组，得出 2.3各模型参数与起筋量间的关系 径向位移“和轴向位移，并代入卷取应力差分方程 基于数学仿真软件Mathematica,针对表I所示的 和物理方程，求出各节点的应力和应变，循环迭代修正 工况参数，分别对卷径为300~900mm,带钢厚度 各节点比例系数、塑性流动因子和卷径轴向分布. 0.5~1.0mm,局部高点高度为3~10um,卷取张力为 2.2起筋钢卷的应力场分布 20~50MPa的钢卷进行起筋量计算，计算结果如图4 针对表1所示的工况参数，对起筋钢卷的应力场 所示.从图4中可以看出，起筋量随局部高点高度、卷 分布进行仿真计算，结果如图3所示 径和卷取张力增加而增大，薄的带钢比厚带钢起筋量 增幅更加明显。因此，解决起筋问题最根本的还是要 表1模型计算参数 控制带钢的局部高点 Table 1 Calculated parameters 参数尺寸 3 数值 参数尺寸 数值 起筋临界卷取张力解析模型 钢卷内外径/mm 300/900 带钢宽度/mm 1000 在卷取过程中，由于钢卷的最外层带钢最容易产 卷取张力/MPa 30 带钢厚度/mm 0.5 生起筋现象，因此对于起筋临界卷取张力的求解，可以 弹性模量/GPa 205 局部高点/μm 5 简化为对钢卷最外层带钢屈曲临界张力的求解过程. 泊松比 0.3 高点位置 带钢中部 3.1起筋带钢挠度函数 由于起筋挠度沿带钢宽度方向急剧变化，因此在 由图3可以看出，局部高点在钢卷径向累积叠加， 宽度方向引入Hermitean多项式作为衰减函数，根据现
工程科学学报，第 37 卷，第 8 期 c2 为带钢凸度轮廓系数，Xr 为起筋宽度系数，χ0、χ1 和 χ2 为局部高点轮廓系数． 钢卷半径轴向分布可以通过下式计算［8］: rn ( z) = rn － 1 ( z) + h( z) + ln ( z) ． ( 14) 式中，ln ( z) 为钢卷层间间隙，ln ( z) = l0 e － ωp ，l0 为钢卷 最外层带钢的层间间隙，ω 为径向压缩系数，p 为层间 径向压力． 径向位移 u 和轴向位移 w 可以用变量为 r 和 z 的 函数表示． 设 u = f ( r，z) 和 w = ζ( r，z) ，则径向与轴 向位移的各阶差分方程可以表示为 f ( r，z) 和 ζ ( r，z) 的形式． 将式( 1) 、式( 2) 、式( 11) 、式( 14) 和位移差分 方程代入式( 10) 中，这样，在钢卷内部就得到了用两 个位移函数表示的差分方程，它包括了平衡条件、物理 方程和几何方程: S1 fi － 1，j － S2 fi，j + S3 fi + 1，j + S5 ( fi，j + 1 + fi，j － 1 ) + S6 ( ζi，j + 1 － ζi，j － 1 ) + S4 ( ζi + 1，j + 1 + ζi － 1，j － 1 － ζi + 1，j － 1 － ζi － 1，j + 1 ) － S7 σ0 r = 0， L1 ( fi + 1，j + 1 + fi － 1，j － 1 － fi + 1，j － 1 － fi － 1，j + 1 ) + L2 ( fi，j + 1 － fi，j － 1 ) + L3 ( ζi，j + 1 + ζi，j － 1 ) + L4 ζi + 1，j + L5 ζi － 1，j － L6 ζi，j = 0 ． ( 15) 式中，S 和 L 为差分方程系数，f ( r，z) 和 ζ ( r，z) 分别 为钢卷径向和轴向位移函数． 2 卷取应力与起筋量解析模型的仿真研究 2. 1 卷取应力与起筋量模型的计算流程 卷取应力与起筋量模型的计算流程见图 2． 首先 对钢卷进行网格划分，设定径向和轴向节点数分别为 m 和 n，假定比例系数 λ 和塑性流动因子 K，形成整体 方程系数矩阵． 通过 LU 分解法求解线性方程组，得出 径向位移 u 和轴向位移 w，并代入卷取应力差分方程 和物理方程，求出各节点的应力和应变，循环迭代修正 各节点比例系数、塑性流动因子和卷径轴向分布． 2. 2 起筋钢卷的应力场分布 针对表 1 所示的工况参数，对起筋钢卷的应力场 分布进行仿真计算，结果如图 3 所示． 表 1 模型计算参数 Table 1 Calculated parameters 参数尺寸 数值 参数尺寸 数值 钢卷内外径/mm 300 /900 带钢宽度/mm 1000 卷取张力/MPa 30 带钢厚度/mm 0. 5 弹性模量/GPa 205 局部高点/μm 5 泊松比 0. 3 高点位置 带钢中部 由图 3 可以看出，局部高点在钢卷径向累积叠加， 图 2 模型计算流程 Fig． 2 Calculation process of the coiling strip stress model 引起径向和周向应力集中［9］，是导致等效应力骤增的 主要原因． 钢卷各层带钢等效应力随卷径增加先减小 后增大，在钢卷最外层达到最大值． 因此，钢卷最外层 带钢最容易产生起筋现象，若钢卷最外层带钢没有发 生起筋现象，则钢卷内部各层带钢均不会起筋． 2. 3 各模型参数与起筋量间的关系 基于数学仿真软件 Mathematica，针对表 1 所示的 工况参 数，分 别 对 卷 径 为 300 ～ 900 mm，带 钢 厚 度 0. 5 ～ 1. 0 mm，局部高点高度为 3 ～ 10 μm，卷取张力为 20 ～ 50 MPa 的钢卷进行起筋量计算，计算结果如图 4 所示． 从图 4 中可以看出，起筋量随局部高点高度、卷 径和卷取张力增加而增大，薄的带钢比厚带钢起筋量 增幅更加明显． 因此，解决起筋问题最根本的还是要 控制带钢的局部高点． 3 起筋临界卷取张力解析模型 在卷取过程中，由于钢卷的最外层带钢最容易产 生起筋现象，因此对于起筋临界卷取张力的求解，可以 简化为对钢卷最外层带钢屈曲临界张力的求解过程． 3. 1 起筋带钢挠度函数 由于起筋挠度沿带钢宽度方向急剧变化，因此在 宽度方向引入 Hermitean 多项式作为衰减函数，根据现 · 6801 ·
管健龙等：冷轧带钢局部高点卷取过程起筋控制的建模与仿真 ·1087· ) 20 100 180 900 60 900 0 750 10 750 钢卷半宽mrm 00 卷半径fmm 600 600 450 -500300 钢卷半宽/m -100 30 450 钢卷半径m 100 -500300 12.5 (c) d 150 10.0 180 475 120 100 60 >900 5.0 900 750 30 750 50 300 100 锅卷半宽mm 100 300 钢卷半径fmm 600 25 100 45 100 450 卷半径mm 600 -500 300 0 -500300 0 图3中部起筋钢卷的应力场分布.(a)径向应力场：(b)周向应力场：()轴向应力场：()等效应力场 Fig.3 Stress distribution of the coil with a central ridge-buckle:(a)circumferential stress field:(b)axial stress field;(c)shear stress field:(d) equivalent stress field 800 700m a 卷径-900mm b 600 局部高点-5匹 带钢厚度0.5mm 卷取张力-40MPx 700 500 带钢厚度0.5mm 批 400 600 300 带钢厚度 局部高点高度 +-0.5mm 500 ◆3m 200 -0.8mm 5 um -4-7m 100 -1.0mm ◆10m A4000 303540 45 50 400 500600700800900 卷取张力MPa 卷取半径mm 图4各模型参数与起筋量间的关系.()起筋量与局部高点高度和卷取张力间的关系：(b)起筋量与卷径和带钢厚度间的关系 Fig.4 Relationships between model parameters and ridge-buckle values:(a)relationship of ridge-buckle values with high point values and coiling tension:(b)relationship of ridge-buckle values with coil diameter and strip thickness 场实际起筋模态，带钢的起筋挠度函数可以表示为： [x=±b:0(x,y）=0, "=0: dr2 (17) 如(x,）=A.om(）os()H(m,-b.≤x≤b.: y=±a:o(x,y）=0, 识=0 02 w(x,y）=0,-b.≥x或x≥b. 3.2起筋带钢受力分析 (16) 起筋带钢受力分析见图5.带钢在卷取过程中，局 式中，An为带钢起筋挠度幅值，a为带钢半长，b.为起 部高点在径向累积叠加，引起的局部附加周向应力和 筋区域半宽， 径向应力可以表示为网 E A. H(x)= 公*1 rn(1-2) (18) E.h 带钢起筋区域2[-b.,b.:-a,a]的边界条件为： 4o.21-)1
管健龙等: 冷轧带钢局部高点卷取过程起筋控制的建模与仿真 图 3 中部起筋钢卷的应力场分布． ( a) 径向应力场; ( b) 周向应力场; ( c) 轴向应力场; ( d) 等效应力场 Fig． 3 Stress distribution of the coil with a central ridge-buckle: ( a) circumferential stress field; ( b) axial stress field; ( c) shear stress field; ( d) equivalent stress field 图 4 各模型参数与起筋量间的关系． ( a) 起筋量与局部高点高度和卷取张力间的关系; ( b) 起筋量与卷径和带钢厚度间的关系 Fig． 4 Ｒelationships between model parameters and ridge-buckle values: ( a) relationship of ridge-buckle values with high point values and coiling tension; ( b) relationship of ridge-buckle values with coil diameter and strip thickness 场实际起筋模态，带钢的起筋挠度函数可以表示为: w( x，y) = An ( cos πy 2 ) a ( cos πx 2b ) w H( x) ，－ bw≤x≤bw ; w( x，y) = 0，－ bw≥x 或 x≥bw { ． ( 16) 式中，An为带钢起筋挠度幅值，a 为带钢半长，bw为起 筋区域半宽， H( x) = x 4 b 4 w + 2 x 2 b 2 w + 1． 带钢起筋区域 Ω［－ bw，bw ; － a，a］的边界条件为: x = ± bw : w( x，y) = 0， 2 w x 2 = 0; y = ± a: w( x，y) = 0， 2 w y { 2 = 0. ( 17) 3. 2 起筋带钢受力分析 起筋带钢受力分析见图 5． 带钢在卷取过程中，局 部高点在径向累积叠加，引起的局部附加周向应力和 径向应力可以表示为［9］ Δσy = E rn ( 1 － v 2 ) An， Δσz = E·h r 2 n ( 1 － v 2 ) { An ． ( 18) · 7801 ·
·1088· 工程科学学报，第37卷，第8期 式中，r为钢卷半径，h为带钢厚度，E为弹性模量，v为 应力函数各系数A1A,和A,可通过余能定理和最 泊松比. 小功原理进行求解，从而得出应力函数φ，即前屈曲应 力场分布. ∫[品()+品()+ 2器品()小h=0 (22) 3.4临界卷取张力计算模型 图5钢卷起筋最外层带钢受力分析 钢卷最外层带钢的几何模型可以简化为厚度为带 Fig.5 Force analysis of the outmost layer coiling strip with a ridge- 钢厚度、半径为钢卷最大卷径的圆柱壳.圆柱壳的变 buckle defect 形协调方程和曲面微分方程分别为☒ 考虑到带钢起筋部位的应力集中现象，局部附加 +蓝=-+()s) 1 张力轴向分布采用高斯函数形式： x子y 0=Ao,e()2 (19) 式中，k,为应力集中系数，b为带钢半宽. w-加- h 带钢的周向应力分布由卷取张力和局部高点引起 dw do 的局部附加张力两部分组成： eg+fu.de-2× (24) a'x a'y a子yax ax dy dx dy N,=h(as,+os),xE [-b,b]. (20) 式中，h为带钢厚度，o、,为带钢卷取张力，0s,为局部附 式中，D为带钢的抗弯刚度， 加张力 Eh' 3.3起筋带钢弹性应力场求解 D=120-) 对于边界载荷产生的应力场求解，可以引入Aiy 对曲面微分方程进行运算，并将应力函数 应力函数Φ(x,y),使其满足平衡方程、本构关系、物理 和曲面微分方程代入变形协调方程中，得到分析起筋 方程、变形协调方程以及边界条件.将应力函数用级 临界卷取张力的八阶微分方程： 数形式表示，并取前三项近似求解@： =Ac,e(d+ DP+a(号杂-a如)=N(话✉) =-)(-), 2(r✉)+（层✉） (25) ---)茶 采用伽辽金虚位移法进行求解，并从已知的应力 场分布搜索一个带钢起筋区域[-b.,b],使带钢在此 (1-)(1-) 区域内起筋获得的卷取张力最小，即带钢起筋的临界 卷取张力： (21) 广{+2,()-(+-a，( wdxdy 0N= h广（w)ad (26) 3.5钢卷最外层带钢应力场仿真研究 张力不均匀分布和轴向压应力是导致带钢起筋的根 对表1所示的工况参数进行钢卷最外层带钢的应 源.另外，带钢宽度在Ix/亿|≤0.2的轴向应力几乎没 力场仿真计算，计算结果如图6所示 有差别，而带钢宽度在0.20.2的范 分布，带钢宽度在Ix/b1≤0.4的范围内存在轴向压应 围是十分困难的.因此，对于中部存在局部高点的带 力区，且等效应力在带钢中部1x/儿1≤0.2范围时达到 钢，起筋多发生于带钢中部和距离带钢中部100~ 幅值.因此，局部高点在径向累积叠加所引起的带钢 200mm的范围
工程科学学报，第 37 卷，第 8 期 式中，rn为钢卷半径，h 为带钢厚度，E 为弹性模量，v 为 泊松比． 图 5 钢卷起筋最外层带钢受力分析 Fig． 5 Force analysis of the outmost layer coiling strip with a ridgebuckle defect 考虑到带钢起筋部位的应力集中现象，局部附加 张力轴向分布采用高斯函数形式: σSy = Δσy e － ( x b × k ) N 2 ． ( 19) 式中，kN为应力集中系数，b 为带钢半宽． 带钢的周向应力分布由卷取张力和局部高点引起 的局部附加张力两部分组成: Ny = h( σNy + σSy ) ，x∈［－ b，b］． ( 20) 式中，h 为带钢厚度，σNy为带钢卷取张力，σSy为局部附 加张力． 3. 3 起筋带钢弹性应力场求解 对于边界载荷产生的应力场求解，可以引入 Airy 应力函数 φ( x，y) ，使其满足平衡方程、本构关系、物理 方程、变形协调方程以及边界条件． 将应力函数用级 数形式表示，并取前三项近似求解［10］: φ = Δσy e － ( x b ×k ) N 2 dxdx + A1φ1 + A2φ2 + A3φ3， φ1 ( = 1 － x 2 b 2 ) ( 2 1 － y 2 a2 ) 2 ， φ2 ( = 1 － x 2 b 2 ) ( 2 1 － y 2 a2 ) 2 x 2 b 2 ， φ3 ( = 1 － x 2 b 2 ) ( 2 1 － y 2 a2 ) 2 y 2 a2 ． ( 21) 应力函数各系数 A1、A2和 A3可通过余能定理和最 小功原理进行求解，从而得出应力函数 φ，即前屈曲应 力场分布． ∫ a －a ∫ b [ －b 2 φ y 2 A (i 2 φ y 2 ) + 2 φ x 2 A (i 2 φ x 2 ) + 2 2 φ x y A (i 2 φ x ) ] y dxdy = 0． ( 22) 3. 4 临界卷取张力计算模型 钢卷最外层带钢的几何模型可以简化为厚度为带 钢厚度、半径为钢卷最大卷径的圆柱壳． 圆柱壳的变 形协调方程和曲面微分方程分别为［11 － 12］ 1 E 4 Δ φ + 1 rn 2 w x 2 = － 2 w 2 x 2 w 2 y ( + 2 w x ) y 2 ，( 23) D h 4 Δ w － 1 rn 2 φ x 2 － Δσz = 2 w 2 x · 2 φ 2 y + 2 w 2 y · 2 φ 2 x － 2 × 2 w x y · 2 φ x y ． ( 24) 式中，D 为带钢的抗弯刚度， D = Eh3 12( 1 － v 2 ) ． 对曲面微分方程进行 2 Δ 2 Δ 运算，并将应力函数 和曲面微分方程代入变形协调方程中，得到分析起筋 临界卷取张力的八阶微分方程: D 8 Δ w + ( h E r 2 n 4 w x 4 － Δσz ) = Ny ( 2 y 2 4 Δ w ) － 2Nxy ( 2 x y 4 Δ w ) + Nx ( 2 x 2 4 Δ w ． ) ( 25) 采用伽辽金虚位移法进行求解，并从已知的应力 场分布搜索一个带钢起筋区域［－ bw，bw］，使带钢在此 区域内起筋获得的卷取张力最小，即带钢起筋的临界 卷取张力: σNy = ∫ a －a ∫ bw －b {w D 8 Δ w + 2Nxy ( 2 x y 4 Δ w － N ) x ( 2 x 2 4 Δ w + h ) [ E r 2 n 4 w x 4 － Δσz － σSy ( 2 y 2 4 Δ w w ) ] } dxdy h∫ a －a ∫ bw －b ( w 2 y 2 4 Δ w w) dxdy ． ( 26) 3. 5 钢卷最外层带钢应力场仿真研究 对表 1 所示的工况参数进行钢卷最外层带钢的应 力场仿真计算，计算结果如图 6 所示． 从图 6 中可以看出，由于带钢周向应力的不均匀 分布，带钢宽度在 | x / b | ≤0. 4 的范围内存在轴向压应 力区，且等效应力在带钢中部 | x / b | ≤0. 2 范围时达到 幅值． 因此，局部高点在径向累积叠加所引起的带钢 张力不均匀分布和轴向压应力是导致带钢起筋的根 源． 另外，带钢宽度在 | x / b | ≤0. 2 的轴向应力几乎没 有差别，而带钢宽度在 0. 2 ＜ | x / b | ＜ 0. 4 的轴向应力 要小得多，这意味着起筋区域扩展到 | x / b | ＞ 0. 2 的范 围是十分困难的． 因此，对于中部存在局部高点的带 钢，起筋多发生于带钢中部和距离带钢中部100 ～ 200 mm的范围． · 8801 ·
管健龙等：冷轧带钢局部高点卷取过程起筋控制的建模与仿真 ·1089· 100 120 100 120 000 80 0 0 1.0 60 1.0 21.0 0.5 0.5 0.5 0.5 0 带钢半长 0 0 带钢半宽 .5 0.5 20 带钢半宽 05 带钢半长 50 -05 -1.01.0 -1.01.0 (e) 10 150 5 6062 100 0 18820060 1.0 1.0 1.0 0.5 5 05 0.5 50 0 0 带钢半长 10 0 带钢半长 0 带钢半宽 0.5 0.5 带锅半宽 0.5 0.5 -1.01.0 0 -1.0-1.0 图6起筋钢卷最外层带钢应力场分布.(a)周向应力场：(b)轴向应力场：()剪切应力场：()等效应力场 Fig.6 Stress distribution of the outermost layer with a ridge-buckle:(a)circumferential stress field:(b)axial stress field;(c)shear stress field; (d)equivalent stress field 3.6各模型参数与临界卷取张力间的关系 点高度增加而减小，在相同卷取张力下，厚带钢比薄带 基于数学仿真软件Mathematica,针对表1所示的 钢更容易屈曲变形.钢卷半径对临界卷取张力的影响 工况参数，分别对卷径为300~900mm,带钢厚度 非常大，半径在500~1000mm时，临界卷取张力变化 0.5~1.0mm,局部高点高度为3~10μm的钢卷进行 范围为10.6~30.9MPa.因此，对于存在小局部高点 起临界卷取张力计算，计算结果如图7所示.从图7 的薄带钢可以适当减小卷取张力，而对于存在大局部 中可以看出，起筋临界卷取张力随带钢厚度和局部高 高点的厚带钢，应大幅减小卷取张力或进行分卷处理 30 局部高点高度a ② -3 um 36 -■-5m 30 带钢厚度=0.5mm 47m -◆-一10μm 25 钢卷半径-900mm 期 局部高点高度 15 10 -3m 10 4-5μm 5 5 --10m 0.8 1.1 14 1.7 20 501 600 700800 900 1000 带钢厚度/mm 钢卷半径mm 图7各模型参数与临界卷取张力间的关系.()临界卷取张力与带钢厚度间的关系：(b)临界卷取张力与钢卷半径间的关系 Fig.7 Relationships between model parameters and critical coiling tension:(a)relationship between critical coiling tension and strip thickness;(b) relationship between critical coiling tension and coil diameter 4有限元仿真与生产验证 筋的卷取张力设定方法四，有效地解决了彩涂基料中 部起筋问题，提高了彩涂产品的成材率和产品表面质 通过对某厂彩涂基料镀锌卷取后出现的中部起筋 量.商业有限元分析软件作为高精度的仿真工具，其 问题进行深入研究，本课题组给出了一种控制带钢起 精度已被众多实际过程验证.以表1所示的参数对
管健龙等: 冷轧带钢局部高点卷取过程起筋控制的建模与仿真 图 6 起筋钢卷最外层带钢应力场分布． ( a) 周向应力场; ( b) 轴向应力场; ( c) 剪切应力场; ( d) 等效应力场 Fig． 6 Stress distribution of the outermost layer with a ridge-buckle: ( a) circumferential stress field; ( b) axial stress field; ( c) shear stress field; ( d) equivalent stress field 3. 6 各模型参数与临界卷取张力间的关系 基于数学仿真软件 Mathematica，针对表 1 所示的 工况参 数，分 别 对 卷 径 为 300 ～ 900 mm，带 钢 厚 度 0. 5 ～ 1. 0 mm，局部高点高度为 3 ～ 10 μm 的钢卷进行 起临界卷取张力计算，计算结果如图 7 所示． 从图 7 中可以看出，起筋临界卷取张力随带钢厚度和局部高 点高度增加而减小，在相同卷取张力下，厚带钢比薄带 钢更容易屈曲变形． 钢卷半径对临界卷取张力的影响 非常大，半径在 500 ～ 1000 mm 时，临界卷取张力变化 范围为 10. 6 ～ 30. 9 MPa． 因此，对于存在小局部高点 的薄带钢可以适当减小卷取张力，而对于存在大局部 高点的厚带钢，应大幅减小卷取张力或进行分卷处理． 图 7 各模型参数与临界卷取张力间的关系 . ( a) 临界卷取张力与带钢厚度间的关系; ( b) 临界卷取张力与钢卷半径间的关系 Fig． 7 Ｒelationships between model parameters and critical coiling tension: ( a) relationship between critical coiling tension and strip thickness; ( b) relationship between critical coiling tension and coil diameter 4 有限元仿真与生产验证 通过对某厂彩涂基料镀锌卷取后出现的中部起筋 问题进行深入研究，本课题组给出了一种控制带钢起 筋的卷取张力设定方法［13］，有效地解决了彩涂基料中 部起筋问题，提高了彩涂产品的成材率和产品表面质 量． 商业有限元分析软件作为高精度的仿真工具，其 精度已被众多实际过程验证［14］． 以表 1 所示的参数对 · 9801 ·
·1090· 工程科学学报，第37卷，第8期 钢卷进行ANSYS有限元仿真，钢卷的起筋临界卷取张 力为22.8MPa,最外层带钢等效应力云图如图8所示， 1.850x10 与图3和图6相同模型参数求得的等效应力分布结果 1.665×103 1.480x10 致. 1.295×10 从图9起筋量模型和临界卷取张力模型的对比分 1.110x108 9.251×107 析数据可以看出：本文提出的起筋量和临界卷取张力 7401×107 计算模型与ANSYS仿真结果基本相同：而弹性起筋量 5.551×10 3.701×10 计算模型由于忽略了带钢局部塑性变形和金属塑性流 1.850x10 动，导致其结果精度较低。实际生产中带钢起筋卷取 0 张力设定值都略小于本模型计算的临界卷取张力，因 此在卷取过程中可以避免起筋情况的发生 图8卷取等效应力云图（单位：Pa) Fig.8 Equivalent stress of coiling strips (unit:Pa) 700 25 (b) 局部高点-5m: 一本文临界卷取张力模型 600 卷取张力-40MP 20f、 一·-有限元法(ANSYS) -实际生控制方法 500 带钢厚度-0.5mm 400 10 300 一◆一本文弹塑性起筋量模型 局部高点=5m: 200 ·▲~弹性起筋量模型 钢卷半径-900mm 有限元法(ANSYS) 10 500 600 700 800 900 0.5 0.8 1.1 1.4 L.7 2.0 卷取半径mm 带钢厚度mm 图9起筋量模型(a)和临界卷取张力模型(b)的对比 Fig.9 Comparison of ridge-buckle models (a)and critical coiling tension models (b) Conference on Metal Forming.Cracow,2008:424 5结论 4]Jung Y J,Lee G T,Kang C G.Coupled thermal deformation (1)本文利用三维弹塑性变形基本理论，并引入 analysis considering strip tension and with/without strip crown in 带钢塑性流动因子，建立了卷取应力和起筋量模型，并 coiling process of cold rolled strip.J Mater Process Technol, 2012,130H31:195 基于应力函数假设和S.Timoshenko最小功原理获得 [5] Qi X D,Li J H,Lian J C,et al.Influence of hot strip local hard- 了起筋带钢的应力场分布，采用伽辽金虚位移法建立 ness on cold strip shape.Iron Steel,2005,40(3):47 了可用于在线计算的起筋临界卷取张力设定模型 (戚向东，李俊洪，连家创，等。热轧带钢局部硬度对冷轧带 (2)通过建立带钢卷取有限元仿真模型和弹性起 钢板形的影响.钢铁，2005,40(3)：47) 筋量模型与本文模型和实际生产控制方法进行对比， [6] Bai Z H,Liu X D H,Li X D,et al.research about the measure 验证了本模型的计算精度和可行性. of ribbing quantity and influence factors of cold-rolled coils.fron Steel,2004,39(12):41 (3)在本文提出的模型中，首次对起筋量和起筋 (白振华，刘献东，李兴东，等.冷轧钢卷起筋量的测量及其 临界卷取张力的影响因素进行了定量的分析，得出了 影响因素的研究.钢铁，2004,39(12)：41) 影响起筋的相关规律 ] Wang Y Q,Li L,Yan X C,et al.Modeling of stress distribution during strip coiling process.J fron Steel Res Int,2012,19 (8):6 参考文献 [8]Zhu HT,Tieu A K,Dippenaar R J,et al.Effect of hot coil pro- Melfo W M,Dippenaar R J,Carter C D.Ridgebuckle defect in file containing ridges on ridge-buckle defects of cold rolled thin thin-tolled steel strip.fron Steel Technol,2006,3(8):54 strip.Int J Mater Form,2010,3(1):21 Jin Y H.Research on the Ribbing of Cold Rolling Strip Disserta- 9]Lian JC.Theory of Straightening and Coiling.Beijing:Mechani- tion].Beijing:University of Science and Technology Beijing, cal Industry Press,2011 2007 (连家创.矫直理论与卷取理论.北京：机械工业出板社， (靳月华.冷轧带钢起筋问题研究[学位论文].北京：北京科 2011) 技大学，2007) [10]Yazdi AA.Applicability of homotopy perturbation method to B]Zhu H T,Lu C,Tieu A K,et al.A mathematical model for the study the nonlinear vibration of doubly curved cross-ply shells prediction of ridge deformation in cold rolling //12th International Compos Struct,2013,96:526
工程科学学报，第 37 卷，第 8 期 钢卷进行 ANSYS 有限元仿真，钢卷的起筋临界卷取张 力为 22. 8 MPa，最外层带钢等效应力云图如图 8 所示， 与图 3 和图 6 相同模型参数求得的等效应力分布结果 一致． 从图 9 起筋量模型和临界卷取张力模型的对比分 析数据可以看出: 本文提出的起筋量和临界卷取张力 计算模型与 ANSYS 仿真结果基本相同; 而弹性起筋量 计算模型由于忽略了带钢局部塑性变形和金属塑性流 动，导致其结果精度较低． 实际生产中带钢起筋卷取 张力设定值都略小于本模型计算的临界卷取张力，因 此在卷取过程中可以避免起筋情况的发生． 图 8 卷取等效应力云图( 单位: Pa) Fig． 8 Equivalent stress of coiling strips ( unit: Pa) 图 9 起筋量模型( a) 和临界卷取张力模型( b) 的对比 Fig． 9 Comparison of ridge-buckle models ( a) and critical coiling tension models ( b) 5 结论 ( 1) 本文利用三维弹塑性变形基本理论，并引入 带钢塑性流动因子，建立了卷取应力和起筋量模型，并 基于应力函数假设和 S． Timoshenko 最小功原理获得 了起筋带钢的应力场分布，采用伽辽金虚位移法建立 了可用于在线计算的起筋临界卷取张力设定模型． ( 2) 通过建立带钢卷取有限元仿真模型和弹性起 筋量模型与本文模型和实际生产控制方法进行对比， 验证了本模型的计算精度和可行性． ( 3) 在本文提出的模型中，首次对起筋量和起筋 临界卷取张力的影响因素进行了定量的分析，得出了 影响起筋的相关规律． 参 考 文 献 ［1］ Melfo W M，Dippenaar Ｒ J，Carter C D． Ｒidge-buckle defect in thin-rolled steel strip． Iron Steel Technol，2006，3( 8) : 54 ［2］ Jin Y H． Ｒesearch on the Ｒibbing of Cold Ｒolling Strip［Dissertation］． Beijing: University of Science and Technology Beijing， 2007 ( 靳月华． 冷轧带钢起筋问题研究［学位论文］． 北京: 北京科 技大学，2007) ［3］ Zhu H T，Lu C，Tieu A K，et al． A mathematical model for the prediction of ridge deformation in cold rolling / / 12th International Conference on Metal Forming． Cracow，2008: 424 ［4］ Jung Y J ，Lee G T，Kang C G． Coupled thermal deformation analysis considering strip tension and with /without strip crown in coiling process of cold rolled strip． J Mater Process Technol， 2012，130-131: 195 ［5］ Qi X D，Li J H，Lian J C，et al． Influence of hot strip local hardness on cold strip shape． Iron Steel，2005，40( 3) : 47 ( 戚向东，李俊洪，连家创，等． 热轧带钢局部硬度对冷轧带 钢板形的影响． 钢铁，2005，40( 3) : 47) ［6］ Bai Z H，Liu X D H，Li X D，et al． research about the measure of ribbing quantity and influence factors of cold-rolled coils． Iron Steel，2004，39( 12) : 41 ( 白振华，刘献东，李兴东，等． 冷轧钢卷起筋量的测量及其 影响因素的研究． 钢铁，2004，39( 12) : 41) ［7］ Wang Y Q，Li L ，Yan X C，et al． Modeling of stress distribution during strip coiling process． J Iron Steel Ｒes Int，2012，19( 8) : 6 ［8］ Zhu H T，Tieu A K，Dippenaar Ｒ J，et al． Effect of hot coil profile containing ridges on ridge-buckle defects of cold rolled thin strip． Int J Mater Form，2010，3( 1) : 21 ［9］ Lian J C． Theory of Straightening and Coiling． Beijing: Mechanical Industry Press，2011 ( 连家创． 矫直理论与卷取理论． 北京: 机械工业出版社， 2011) ［10］ Yazdi A A． Applicability of homotopy perturbation method to study the nonlinear vibration of doubly curved cross-ply shells． Compos Struct，2013，96: 526 · 0901 ·
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