多孔介质中微观力的作用及渗流模型

第36卷第4期 北京科技大学学报 Vol.36 No.4 2014年4月 Journal of University of Science and Technology Beijing Apr.2014 多孔介质中微观力的作用及渗流模型 邓庆军”，朱维耀四，王小锋，隋新光》，王小佳 1)东北石油大学，大庆1630002)北京科技大学土木与环境工程学院，北京1000833)大庆油田第一采油厂，大庆163000 4)中石化胜利石油工程有限公司测井公司，东营257096 ☒通信作者，E-mail:weiyaook@sina.com 摘要在现有微尺度流动实验和理论认识的基础上，建立了包含范德华力、静电力、空间位型力、表面张力等微观力的特性 方程，分析了影响多孔介质中流体流动的微观力种类和作用范围.通过建立考虑微观力作用的圆管流动数学模型，构造了考 虑微观力作用的多孔介质的毛管束网络数学模型，推导了考虑微观力作用的相对渗透率模型.通过模拟分析阐明了微观力在 多孔介质壁面上的作用及对渗流的影响.模拟结果表明微观力在细小孔隙流动中不可忽略 关键词多孔介质：微观力：渗流：渗透率：数学模型 分类号TE312:0359 Seepage model considering micro forces in porous media DENG Qing jun,ZHU Wei-yao,WANG Xiao-feng,SUI Xin-guang),WANG Xiaojia) 1)Northeast Petroleum University,Daging 163000,China 2)School of Civil and Environmental Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 3)First Oil Production Plant,Daqing Oilfield,Daqing 163000,China 4)Shengli Well Logging Company,Sinopec,Dongying 257096,China Corresponding author,E-mail:weiyaook@sina.com ABSTRACT The characteristic equations of micro forces such as van der Waals force,electrostatic force,steric type force and surface tension were established on the basis of the existing experiments and theories of micro flow.The effect of various micro forces on fluid flow in porous media was analyzed in detail.A mathematical model considering the effect of micro forces was constructed for fluid flow in micro tubes.A new relative permeability formula considering micro forces was derived using the capillary bundle model of por- ous media.Numerical analysis clarified the effect of micro forces on fluid flow in porous media.Simulation results show that micro forces cannot be neglected in micro-scale porous throats. KEY WORDS porous media:micro forces:seepage:permeability:mathematical models 20世纪80年代以来，随着微机械系统的发展， 微尺度范围内，多孔介质中基质与流体之间微观力 微尺度下的流动问题己日益受到研究人员的重视， 作用必然对流体的渗流规律产生影响.随着多孔介 液体在细小微管中的流动特性的研究显得日益迫 质孔隙喉道变小流体流动表现为非线性流动，原 切-.研究发现，液体在直径小于几百微米的微 有的线性渗流理论不再适用5-9.因此，有必要 管中的流动特性，用经典流体理论解释圆微管中的对其本质原因进行分析，建立新的研究方法，解决 极性液体的层流和电解质流动，实验与理论出现偏多孔介质中微观力作用规律和非线性流动这些问 差，而管壁与流体之间的微观力作用是造成这一结 题.本文着重研究微观力（主要为范德华力）作用 果的主要原因.60.多孔介质孔喉的特征尺寸在 下对流体在微圆管流动产生的影响，建立相应的 收稿日期：201302-27 基金项目：国家重大基金资助项目(50934003,11372033)：教育部专项资金资助项目(FRF-MP-B12006B) DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2014.04.001:http://journals.ustb.edu.cn

第 36 卷 第 4 期 2014 年 4 月 北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol． 36 No． 4 Apr． 2014 多孔介质中微观力的作用及渗流模型 邓庆军1) ，朱维耀2) ，王小锋2) ，隋新光3) ，王小佳4) 1) 东北石油大学，大庆 163000 2) 北京科技大学土木与环境工程学院，北京 100083 3) 大庆油田第一采油厂，大庆 163000 4) 中石化胜利石油工程有限公司测井公司，东营 257096  通信作者，E-mail: weiyaook@ sina． com 摘 要 在现有微尺度流动实验和理论认识的基础上，建立了包含范德华力、静电力、空间位型力、表面张力等微观力的特性 方程，分析了影响多孔介质中流体流动的微观力种类和作用范围． 通过建立考虑微观力作用的圆管流动数学模型，构造了考 虑微观力作用的多孔介质的毛管束网络数学模型，推导了考虑微观力作用的相对渗透率模型． 通过模拟分析阐明了微观力在 多孔介质壁面上的作用及对渗流的影响． 模拟结果表明微观力在细小孔隙流动中不可忽略． 关键词 多孔介质; 微观力; 渗流; 渗透率; 数学模型 分类号 TE312; O359 Seepage model considering micro forces in porous media DENG Qing-jun1) ，ZHU Wei-yao 2) ，WANG Xiao-feng2) ，SUI Xin-guang3) ，WANG Xiao-jia4) 1) Northeast Petroleum University，Daqing 163000，China 2) School of Civil and Environmental Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China 3) First Oil Production Plant，Daqing Oilfield，Daqing 163000，China 4) Shengli Well Logging Company，Sinopec，Dongying 257096，China  Corresponding author，E-mail: weiyaook@ sina． com ABSTＲACT The characteristic equations of micro forces such as van der Waals force，electrostatic force，steric type force and surface tension were established on the basis of the existing experiments and theories of micro flow． The effect of various micro forces on fluid flow in porous media was analyzed in detail． A mathematical model considering the effect of micro forces was constructed for fluid flow in micro tubes． A new relative permeability formula considering micro forces was derived using the capillary bundle model of por￾ous media． Numerical analysis clarified the effect of micro forces on fluid flow in porous media． Simulation results show that micro forces cannot be neglected in micro-scale porous throats． KEY WOＲDS porous media; micro forces; seepage; permeability; mathematical models 收稿日期: 2013--02--27 基金项目: 国家重大基金资助项目( 50934003，11372033) ; 教育部专项资金资助项目( FＲF-MP-B 12006B) DOI: 10． 13374 /j． issn1001--053x． 2014． 04． 001; http: / /journals． ustb． edu． cn 20 世纪 80 年代以来，随着微机械系统的发展， 微尺度下的流动问题已日益受到研究人员的重视， 液体在细小微管中的流动特性的研究显得日益迫 切［1--14］． 研究发现，液体在直径小于几百微米的微 管中的流动特性，用经典流体理论解释圆微管中的 极性液体的层流和电解质流动，实验与理论出现偏 差，而管壁与流体之间的微观力作用是造成这一结 果的主要原因［2--3，6--14］． 多孔介质孔喉的特征尺寸在 微尺度范围内，多孔介质中基质与流体之间微观力 作用必然对流体的渗流规律产生影响． 随着多孔介 质孔隙喉道变小流体流动表现为非线性流动，原 有的线性渗流理论不再适用［15--19］． 因此，有必要 对其本质原因进行分析，建立新的研究方法，解决 多孔介质中微观力作用规律和非线性流动这些问 题． 本文着重研究微观力( 主要为范德华力) 作用 下对流体在微圆管流动产生的影响，建立相应的

·416 北京科技大学学报 第36卷 数学模型，模拟分析范德华力对流体在圆管内速 式中：V为分子间的取向力，J:V。为分子间诱导力， 度分布和平均流量的影响.在此基础上，建立多孔 J;'为分子间的色散力，J:41和2为分子间的偶 介质的毛管束网络模型，从而揭示微观力的作用 极距，C·m;a,和a2为分子间的极化率，Cm2, 和非线性渗流规律. V:”、”2为分子间的独立特征振动频率；k为波尔 1影响多孔介质中流体流动的微观力及其 兹曼常数，k=1.38×10-23JK-1;T为热力学温度， 作用范围 K:h为普朗克常数，h=6.62×10-4Js:B为分子间 作用系数，Jm:x为分子间的距离，m. 油气田储层多孔介质孔隙喉道尺寸一般介于 分子集合体之间相互叠加的范德华力作用称为 1um到几百微米之间，属于微尺度的流动范围.实 长程范德华力.比如，对于一个半径为R的分子集 验发现，当流体通过半径为20μm的圆管时，入口压 合体和一个固体壁面之间的范德华力作用，如图1 力和出口压力已知，实验测得一定时间内出口的液 所示，由界面化学的相关知识可知，其表达式为可 体流量偏离传统的泊肃叶定律下预测的液体流量， 实测结果比理论预测的结果要小得多，泊肃叶定律 - (2) 已经不能完全适用于描述微尺度条件下流体的渗流 式中：A为物质的哈默克常数，定义为A= 规律.这是因为流体在多孔介质的孔隙和喉道内流 B(pN,)2/M,J:p为物质密度，g·cm-3;M为物质 动时，由于孔喉的特征尺寸微小，流体流动受管壁与 的摩尔质量，g·mol;N为阿伏伽德罗常数：D为粒 流体间微观力的影响增大，微观力不可忽略-).微 子体到管壁的距离，m. 观力主要包含范德华力、静电力、空间位型力、表面 流体在微通道内的流动规律，普遍认为遵循泊 张力等，下面对其各种力的大小和作用范围进行 肃叶定律.但是，实验结果发现，流体的实际测量流 分析. 量与泊肃叶定律的理论值偏差较大，测量结果比理 1.1范德华力 论值要低.这是由于固体表面对水分子的长程范德 分子间的范德华力包括三个部分，即取向力、诱 华力作用的影响，使微通道中的水产生附加黏度，从 导力和色散力.取向力表示分子永久偶极矩间的相 而导致流体的流动速度降低.黏度是分子间引力的 互作用，它仅存在于极性分子之间，因为只有极性分 表征，分子间引力越大，黏度越大，分子间引力越小， 子间存在永久偶极距.诱导力是指分子被电场作用 黏度越小 产生极化而形成的偶极矩与永久偶极矩间的相互作 用，在极性分子和非极性分子之间以及极性分子和 极性分子之间都存在诱导力.永久偶极矩就是分子 的正电中心或负电中心上的电量乘以两个中心之间 的距离所得的积.由于分子中电子和原子核不停地 运动，非极性分子的电子云分布呈现有涨有落的状 态，从而使它与原子核之间出现瞬时相对位移，产生 图1一个半径为R的分子集合体和一个固体壁面之间的范德 了瞬时偶极，分子也因而发生变形.分子中电子数 华力作用 越多、原子数越多、原子半径越大，分子越易变形 Fig.1 Van der Waals force between a molecular assembly of radius 瞬时偶极可使其相邻的另一非极性分子产生瞬时诱 R and a solid wall 导偶极，且两个瞬时偶极总采取异极相邻状态，这种 1.2静电力 随时产生的分子瞬时偶极间的作用力为色散力，任 静电力是带电分子或粒子间的作用力，其大小 何分子间始终存在着色散力. 与距离的平方成反比，其作用距离比范德华力长，在 单个分子之间的范德华力称为短程范德华力 距离小于0.1um时最为重要，在10um时仍有影 V,可表示为 响。通常，固壁面与含有带电离子的溶液接触后，溶 =K+。+=-g= 液中会有净电荷形成，并在固壁面形成电势.具体 来讲，溶液中的正电荷与负电荷的数目相同，溶液呈 停管+a++2m 2 电中性，当固壁面与溶液接触后，固壁面的电荷在静 电作用下将吸引溶液中的反号离子，排斥同号离子， (1) 使得固壁面附近反号离子的浓度高于远离固壁面的

北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 数学模型，模拟分析范德华力对流体在圆管内速 度分布和平均流量的影响． 在此基础上，建立多孔 介质的毛管束网络模型，从而揭示微观力的作用 和非线性渗流规律． 1 影响多孔介质中流体流动的微观力及其 作用范围 油气田储层多孔介质孔隙喉道尺寸一般介于 1 μm到几百微米之间，属于微尺度的流动范围． 实 验发现，当流体通过半径为 20 μm 的圆管时，入口压 力和出口压力已知，实验测得一定时间内出口的液 体流量偏离传统的泊肃叶定律下预测的液体流量， 实测结果比理论预测的结果要小得多，泊肃叶定律 已经不能完全适用于描述微尺度条件下流体的渗流 规律． 这是因为流体在多孔介质的孔隙和喉道内流 动时，由于孔喉的特征尺寸微小，流体流动受管壁与 流体间微观力的影响增大，微观力不可忽略［1--9］． 微 观力主要包含范德华力、静电力、空间位型力、表面 张力等，下面对其各种力的大小和作用范围进行 分析． 1. 1 范德华力 分子间的范德华力包括三个部分，即取向力、诱 导力和色散力． 取向力表示分子永久偶极矩间的相 互作用，它仅存在于极性分子之间，因为只有极性分 子间存在永久偶极距． 诱导力是指分子被电场作用 产生极化而形成的偶极矩与永久偶极矩间的相互作 用，在极性分子和非极性分子之间以及极性分子和 极性分子之间都存在诱导力． 永久偶极矩就是分子 的正电中心或负电中心上的电量乘以两个中心之间 的距离所得的积． 由于分子中电子和原子核不停地 运动，非极性分子的电子云分布呈现有涨有落的状 态，从而使它与原子核之间出现瞬时相对位移，产生 了瞬时偶极，分子也因而发生变形． 分子中电子数 越多、原子数越多、原子半径越大，分子越易变形． 瞬时偶极可使其相邻的另一非极性分子产生瞬时诱 导偶极，且两个瞬时偶极总采取异极相邻状态，这种 随时产生的分子瞬时偶极间的作用力为色散力，任 何分子间始终存在着色散力． 单个分子之间的范德华力称为短程范德华力 VF，可表示为 VF = Vk + VD + VL = － β x 6 = － 1 x 6 ( 2 3 μ2 1μ2 2 kT + α1μ2 2 + α2μ2 1 + 3h 2 ν1 ν2 ν1 + ν2 α1α2 ) ． ( 1) 式中: Vk 为分子间的取向力，J; VD 为分子间诱导力， J; VL 为分子间的色散力，J; μ1 和 μ2 为分子间的偶 极距，C·m － 1 ; α1 和 α2 为分子间的极化率，C·m2 · V － 1 ; ν1、ν2 为分子间的独立特征振动频率; k 为波尔 兹曼常数，k = 1. 38 × 10 － 23 J·K － 1 ; T 为热力学温度， K; h 为普朗克常数，h = 6. 62 × 10 － 34 J·s; β 为分子间 作用系数，J·m6 ; x 为分子间的距离，m． 分子集合体之间相互叠加的范德华力作用称为 长程范德华力． 比如，对于一个半径为 Ｒ 的分子集 合体和一个固体壁面之间的范德华力作用，如图 1 所示，由界面化学的相关知识可知，其表达式为［9］ V = － AＲ D ． ( 2) 式 中: A 为物质的哈默克常数，定 义 为 A = β( πρNA) 2 /M2 ，J; ρ 为物质密度，g·cm － 3 ; M 为物质 的摩尔质量，g·mol; NA 为阿伏伽德罗常数; D 为粒 子体到管壁的距离，m． 流体在微通道内的流动规律，普遍认为遵循泊 肃叶定律． 但是，实验结果发现，流体的实际测量流 量与泊肃叶定律的理论值偏差较大，测量结果比理 论值要低． 这是由于固体表面对水分子的长程范德 华力作用的影响，使微通道中的水产生附加黏度，从 而导致流体的流动速度降低． 黏度是分子间引力的 表征，分子间引力越大，黏度越大，分子间引力越小， 黏度越小． 图 1 一个半径为 Ｒ 的分子集合体和一个固体壁面之间的范德 华力作用 Fig． 1 Van der Waals force between a molecular assembly of radius Ｒ and a solid wall 1. 2 静电力 静电力是带电分子或粒子间的作用力，其大小 与距离的平方成反比，其作用距离比范德华力长，在 距离小于 0. 1 μm 时最为重要，在 10 μm 时仍有影 响． 通常，固壁面与含有带电离子的溶液接触后，溶 液中会有净电荷形成，并在固壁面形成电势． 具体 来讲，溶液中的正电荷与负电荷的数目相同，溶液呈 电中性，当固壁面与溶液接触后，固壁面的电荷在静 电作用下将吸引溶液中的反号离子，排斥同号离子， 使得固壁面附近反号离子的浓度高于远离固壁面的 ·416·

第4期 邓庆军等：多孔介质中微观力的作用及渗流模型 417· 溶液中的反号离子浓度，固壁面附近同号离子的浓 表1各种不同浓度及价数的电解质水溶液的x1(扩散双电层厚 度低于远离固壁面的溶液中的同号离子浓度.固壁 度)数值回 面附近区域的净电荷不再为零（反号离子积累），且 Table 1 Aqueous electrolyte x-values (electric double layer thick- ness)at different concentrations and valences 净电荷量与固壁面所带电荷量相同.于是，带电固 电解质类型 c/(mol-m-3) 壁面与其附近溶液中的净电离子层组成了双电层， x-1/m 10-3 1.0×10-7 如图2所示，形成紧密层和扩散层 1一1型电解质 10-2 1.0×10-8 致密层 10-1 1.0×10-9 ++ + 10-3 5.0×10-8 + + 22型电解质 10-2 5.0×10-9 ++一 10-1 5.0×10-10 + 十十 ++ 扩散层 剪切面一王王王王王王要王主 1.3空间位型力 图2平行平板微通道中的双电层 在含有链状分子的液体中，链状分子的一端附 Fig.2 Electric double layer in the microchannel of parallel plates 着在表面上，另一端伸入流动液体中自由摆动，当其 靠近其他分子或表面时，就产生了一类十分不同的 实验证实压差驱动的微通道内液体流动阻力比 作用力，称为空间位型力.由于分子的复杂性，其相 理论预测的要大，原因是固液界面双电层存在所带 互作用也复杂，空间位型力可能是吸引力也可能是 来的电黏性效应.大多数固体与电解质溶液接触 排斥力.在含有大量长链分子的液体流动中，该作 时，固壁面会带上净电荷，该净电荷吸引溶液中的反 用力尤为重要.当两个带有聚合物吸附层的粒子靠 电荷离子，排斥同电荷离子，造成壁面附近离子重排 拢到吸附层相互作用后，会出现如图所示的两种情 形成双电层，当液体受到压力差驱动流动时，双电层 况。一种情况是吸附层被压缩而不能发生相互渗 内的净电荷随液体运动，电荷的运动在微通道两端 透，如图所示.如果高聚物为刚棒状，则在他们相互 形成电位差，称之为流动电位势，其负梯度称为流动 作用区内，聚合物分子失去结构熵而产生熵斥力位 诱导电场，流动诱导电场作用在微通道双电层的净 能U;但是在同一种情况下，如果高聚物分子是弹 电荷上，使其向流动反方向运动，并通过黏性力带动 性体，则由于被压缩而产生弹性斥力位能U.另一 液体一起反向流动，这样得到的净结果是液体的正 向流速减慢，好像是液体的黏度增大那样，这就是 种情况是吸附层发生相互重叠，互相渗透，如图3所 示.由于粒子靠拢时吸附层的重叠，使重叠区内高 “电黏性效应” 聚物的浓度增大，而导致出现渗透压及“溶液的压 当微通道尺寸缩小到微米尺度时，微通道流动 缩”，相应产生渗透斥力位能U。和焓斥力位能U州 电黏性效应更加明显.实验研究表明离子浓度℃越 所以通常的空间斥力位能是由这四部分组成的，可 低，扩散双电层厚度x越大，电黏性效应越明显， 如表1所示. 以写成 U食=U+U+Ug+U (3) taj 图3聚合物吸附层相互作用.()吸附层被压缩：(b)吸附层相互渗透 Fig.3 Interaction of polymer adsorption layers:(a)the compressed layer:(b)permeable adsorption layer 影响空间位型力的因素很多，如吸附分子的相 距离下，高分子化合物的相对分子质量越大，空间位 对分子质量、离子强度和体系温度，但是对其影响最 型力越大：在相同距离下，随着电解质浓度的增大， 显著的主要是相对分子质量和离子强度.在相同的 空间位型力减小，因为随着电解质浓度的增大，盐析

第 4 期 邓庆军等: 多孔介质中微观力的作用及渗流模型 溶液中的反号离子浓度，固壁面附近同号离子的浓 度低于远离固壁面的溶液中的同号离子浓度． 固壁 面附近区域的净电荷不再为零( 反号离子积累) ，且 净电荷量与固壁面所带电荷量相同． 于是，带电固 壁面与其附近溶液中的净电离子层组成了双电层， 如图 2 所示，形成紧密层和扩散层． 图 2 平行平板微通道中的双电层 Fig． 2 Electric double layer in the microchannel of parallel plates 实验证实压差驱动的微通道内液体流动阻力比 理论预测的要大，原因是固液界面双电层存在所带 来的电黏性效应． 大多数固体与电解质溶液接触 时，固壁面会带上净电荷，该净电荷吸引溶液中的反 电荷离子，排斥同电荷离子，造成壁面附近离子重排 形成双电层，当液体受到压力差驱动流动时，双电层 内的净电荷随液体运动，电荷的运动在微通道两端 形成电位差，称之为流动电位势，其负梯度称为流动 诱导电场，流动诱导电场作用在微通道双电层的净 电荷上，使其向流动反方向运动，并通过黏性力带动 液体一起反向流动，这样得到的净结果是液体的正 向流速减慢，好像是液体的黏度增大那样，这就是 “电黏性效应”． 当微通道尺寸缩小到微米尺度时，微通道流动 电黏性效应更加明显． 实验研究表明离子浓度 c 越 低，扩散双电层厚度 к － 1 越大，电黏性效应越明显， 如表 1 所示． 表 1 各种不同浓度及价数的电解质水溶液的 к － 1 ( 扩散双电层厚 度) 数值［9］ Table 1 Aqueous electrolyte к － 1 values ( electric double layer thick￾ness) at different concentrations and valences 电解质类型 c/( mol·m － 3 ) к － 1 /m 10 － 3 1. 0 × 10 － 7 1--1 型电解质 10 － 2 1. 0 × 10 － 8 10 － 1 1. 0 × 10 － 9 10 － 3 5. 0 × 10 － 8 2--2 型电解质 10 － 2 5. 0 × 10 － 9 10 － 1 5. 0 × 10 － 10 1. 3 空间位型力 在含有链状分子的液体中，链状分子的一端附 着在表面上，另一端伸入流动液体中自由摆动，当其 靠近其他分子或表面时，就产生了一类十分不同的 作用力，称为空间位型力． 由于分子的复杂性，其相 互作用也复杂，空间位型力可能是吸引力也可能是 排斥力． 在含有大量长链分子的液体流动中，该作 用力尤为重要． 当两个带有聚合物吸附层的粒子靠 拢到吸附层相互作用后，会出现如图所示的两种情 况． 一种情况是吸附层被压缩而不能发生相互渗 透，如图所示． 如果高聚物为刚棒状，则在他们相互 作用区内，聚合物分子失去结构熵而产生熵斥力位 能 Ue Ｒ; 但是在同一种情况下，如果高聚物分子是弹 性体，则由于被压缩而产生弹性斥力位能 UE Ｒ． 另一 种情况是吸附层发生相互重叠，互相渗透，如图 3 所 示． 由于粒子靠拢时吸附层的重叠，使重叠区内高 聚物的浓度增大，而导致出现渗透压及“溶液的压 缩”，相应产生渗透斥力位能 UO Ｒ 和焓斥力位能 UH Ｒ ． 所以通常的空间斥力位能是由这四部分组成的，可 以写成 US Ｒ = Ue Ｒ + UE Ｒ + UO Ｒ + UH Ｒ ． ( 3) 图 3 聚合物吸附层相互作用． ( a) 吸附层被压缩; ( b) 吸附层相互渗透 Fig． 3 Interaction of polymer adsorption layers: ( a) the compressed layer; ( b) permeable adsorption layer 影响空间位型力的因素很多，如吸附分子的相 对分子质量、离子强度和体系温度，但是对其影响最 显著的主要是相对分子质量和离子强度． 在相同的 距离下，高分子化合物的相对分子质量越大，空间位 型力越大; 在相同距离下，随着电解质浓度的增大， 空间位型力减小，因为随着电解质浓度的增大，盐析 ·417·

·418 北京科技大学学报 第36卷 效应显著，高分子化合物在固体颗粒表面吸附层厚 能的存在.任何自由能都有趋于最小的趋势，所以 度降低，穿插作用显著减弱 液体表面具有自动缩小的趋势，这种收缩力称为表 1.4表面张力 面张力，可表示为 表面张力是液体表面层由于分子引力不均衡而 产生的沿表面作用于任一界线上的张力.通常，由 =aA T.p.m (4) 于环境不同，处于界面的分子与处于相本体内的分 式中，U为体系的自由能，△A为增加的新表面面积， 子所受力是不同的.在水内部的一个水分子受到周 Tp和n分别表示体系的温度、压力和组成，σ为表 围水分子的作用力的合力为零，但在表面的一个水 面张力 分子却不如此.因上层空间气相分子对它的吸引力 表面张力的大小与温度和界面两相物质的 小于内部液相分子对它的吸引力，所以该分子所受 性质有关.表面张力影响毛管力的大小，表面张 合力不等于零，力场不再平衡，其合力方向垂直指向 力越大，毛管力越大.当微通道内的流体存在两 液体内部。表层分子比液相内分子储存有多余的 相界面时，毛管力显著增大，表面张力的大小与 “自由能”，这就是两相界面层的自由表面能.如果 毛管力的大小成正比，会对流体的流动规律有巨 想将液相内的水分子举升到水表面上，必须付出能 大的影响. 量做功，这种能量将转化为表面自由能.只有当存 1.5微观力的作用范围及条件 在两相界面时，分子力场产生不平衡，才有自由表面 四种微观力的作用范围和条件如下表2所示 表2各种微观力的作用范围和条件阿 Table 2 Scope and conditions of various micro forees 微观力 定义 表达式 作用范围 考虑条件 表面张力是液体表面层由于分子引力不均衡 毛细尺度，可达几百单相流动时不考虑， 表面张力 而产生的沿表面作用于任一界线上的张力 微米 两相流动时考虑 其累积效果远远大于 范德华力 分子间作用力被称为范德华力 VF=V +VD VL 微尺度条件下考虑 0.1μm,可达几微米 作用距离可达10m, 流体为电解质溶液时 静电力 静电力是静止带电体之间的相互作用力 F=Eq 距离小于0.1μm时 考虑 其作用最强 在含有链状分子的液体中产生的一种特殊的 链状分子的聚合物溶 空间位型力 喉=馆+唱+g+唱 作用距离大于0.1μm 作用力 液流动时考虑 2考虑范德华力作用的微圆管流动数学模型 2.1基本假设 有一水平放置的微圆管，如图4所示，将x轴选 在管轴上，令？表示由管轴向外度量的径向坐标，周 向和径向的速度分量都为零，圆管的半径为R,平行 图4水平放置的微圆管流体流动速度分布 于管轴的速度分量为“，它仅依赖于r,同时沿x方 Fig.4 Velocity distribution of fluid in a horizontal placement micro- 向横截面上压力梯度为常数，圆管的长度为L,入口 tube 和出口的压力分别为P1和P2,考虑管壁与流体之间 范德华力的作用. =+b-A (5) 2.2微圆管内流体的黏度方程 当水相流体在微圆管内流动时，流体与管壁间 (6) 的分子作用增大了流体间的分子引力，使得流体黏 度增大0.流体黏度由两部分组成：一部分是不考 =()a (7) 虑固液分子作用时流体的黏度，另一部分是由于 2μ 流体分子引力的增大产生的黏度流体黏度可表示为 B.=3kT +2a2+ 3 (8)

北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 效应显著，高分子化合物在固体颗粒表面吸附层厚 度降低，穿插作用显著减弱． 1. 4 表面张力 表面张力是液体表面层由于分子引力不均衡而 产生的沿表面作用于任一界线上的张力． 通常，由 于环境不同，处于界面的分子与处于相本体内的分 子所受力是不同的． 在水内部的一个水分子受到周 围水分子的作用力的合力为零，但在表面的一个水 分子却不如此． 因上层空间气相分子对它的吸引力 小于内部液相分子对它的吸引力，所以该分子所受 合力不等于零，力场不再平衡，其合力方向垂直指向 液体内部． 表层分子比液相内分子储存有多余的 “自由能”，这就是两相界面层的自由表面能． 如果 想将液相内的水分子举升到水表面上，必须付出能 量做功，这种能量将转化为表面自由能． 只有当存 在两相界面时，分子力场产生不平衡，才有自由表面 能的存在． 任何自由能都有趋于最小的趋势，所以 液体表面具有自动缩小的趋势，这种收缩力称为表 面张力，可表示为 σ = ( U  ) A T，p，n ( 4) 式中，U 为体系的自由能，ΔA 为增加的新表面面积， T、p 和 n 分别表示体系的温度、压力和组成，σ 为表 面张力． 表面张力的大小与温度和界面两相物质的 性质有关． 表面张力影响毛管力的大小，表面张 力越大，毛管力越大． 当微通道内的流体存在两 相界面时，毛管力显著增大，表面张力的大小与 毛管力的大小成正比，会对流体的流动规律有巨 大的影响． 1. 5 微观力的作用范围及条件 四种微观力的作用范围和条件如下表 2 所示． 表 2 各种微观力的作用范围和条件［19］ Table 2 Scope and conditions of various micro forces 微观力 定义 表达式 作用范围 考虑条件 表面张力 表面张力是液体表面层由于分子引力不均衡 而产生的沿表面作用于任一界线上的张力 σ ( = U A ) T，p，n 毛细尺度，可达几百 微米 单相流动时不考虑， 两相流动时考虑 范德华力 分子间作用力被称为范德华力 VF = Vk + VD + VL 其累积效果远远大于 0. 1 μm，可达几微米 微尺度条件下考虑 静电力 静电力是静止带电体之间的相互作用力 F = Eq 作用距离可达10 μm， 距离小于 0. 1 μm 时 其作用最强 流体为电解质溶液时 考虑 空间位型力 在含有链状分子的液体中产生的一种特殊的 作用力 US Ｒ = Ue Ｒ + UE Ｒ + UO Ｒ + UH Ｒ 作用距离大于0. 1 μm 链状分子的聚合物溶 液流动时考虑 2 考虑范德华力作用的微圆管流动数学模型 2. 1 基本假设 有一水平放置的微圆管，如图 4 所示，将 x 轴选 在管轴上，令 r 表示由管轴向外度量的径向坐标，周 向和径向的速度分量都为零，圆管的半径为 Ｒ，平行 于管轴的速度分量为 u，它仅依赖于 r，同时沿 x 方 向横截面上压力梯度为常数，圆管的长度为 L，入口 和出口的压力分别为 p1和 p2，考虑管壁与流体之间 范德华力的作用． 2. 2 微圆管内流体的黏度方程 当水相流体在微圆管内流动时，流体与管壁间 的分子作用增大了流体间的分子引力，使得流体黏 度增大［20］． 流体黏度由两部分组成: 一部分是不考 虑固液分子作用时流体的黏度 μ0，另一部分是由于 流体分子引力的增大产生的黏度． 流体黏度可表示为 图 4 水平放置的微圆管流体流动速度分布 Fig． 4 Velocity distribution of fluid in a horizontal placement micro￾tube μ = μ0 + b·槡AsAw － Aw x ， ( 5) Aw≡ ( πρwNA M ) w 2 βw， ( 6) As≡ ( πρsNA M ) s 2 βs． ( 7) βw = 2μ4 w 3kT + 2αw μ2 w + 3 4 α2 w Iw， ( 8) ·418·

第4期 邓庆军等：多孔介质中微观力的作用及渗流模型 ·419· a-盖2+ (9) 当不考虑管壁与流体的固液界面作用时，即 A.=A,代入式(11)，则式(11)可退化为泊肃叶定 式中，为不考虑固液分子作用时水的黏度，b是黏 律的形式，即 度增加系数，x为离固体表面的距离，u.α.和I.分 Q=π.R,dp 别表示水分子的偶极距、极化率和电离能，μα，和 8 uo dx (12) I,分别表示固体表面分子的偶极距、极化率和电离 3考虑微观力作用的多孔介质的毛管束网 能，A.和A分别代表水相和固体管壁的哈默克常 络数学模型 数，P.和p,分别为水相和固体管壁的密度. 2.3微圆管内流体的速度分布模型 3.1基本假设 按照假设条件化简Navier-Stokes方程，结合 毛管束模型的假设条件如下：该模型由n根等 式(5)的黏度方程，求解得到流体在微圆管内的 长度为L的不同直径的毛细管所组成，各毛细管之 速度： 间有封闭体积，毛管束集合的半径分布符合分布函 u=-2[1(R2-2)+ 数f(),毛管束集合的半径大小与多孔介质当中的 dxl4μo 喉道半径基本一致，单根毛细管内流体的流动都遵 1b(A4-A)(R-D+ 循泊肃叶定律.模型形状为岩心状，长度为L,模型 2 G 的孔隙度为中，考虑毛管压力对毛管束模型的影响 6(A.A.-A.)RIn eoRor+(A.A.A.) 假设毛管束模型内饱和水，毛细管的润湿性满足一 1 b(AA.-A.) 定比例，用原油驱替毛细管中的水相，则按照模型假 2 设，亲水的毛细管分为不动区域和可动区域，不动区 (AAA.)'In oR-or b(A.A.A.) 域内为束缚水，可动区域内为原油：亲油的毛细管也 1 b(A.A.-A.) 分为不动区域和可动区域，不动区域和可动区域都 2 是原油.在两端压力差△p的作用下，建立水驱毛细 (10) 管束模型. 2.4平均流量方程 若考虑毛管力P。的影响，只有当模型两端压力 微圆管截面的平均流量Q=广udA=2nd, △p>P。时，毛细管内的原油才能被驱动，单根毛细 管的毛管压力公式为 结合式(10)可求得 p.-20c0s9 (13) Q=iA=a.E.业.46(AA-A) 8 uo dxI LoRi 故存在一个临界半径1。，≤T。的毛细管内原油不能 被驱动，r>T。的毛细管内的原油可以被驱动，临界 In oR6(A.4.-4.) 半径r,可表达为 b(AA.-A) 12(-A)hR+不-A 。s20c0s9 (14) △p R （√A,An-A) 3.2毛细管的可动半径模型 (A.)1 4b3 RVA-A)严+ 假设毛管束模型中的毛细管，受地层孔喉特性 参数（孔喉比、形状因子和配位数）及微观固液分子 -A)hRt-+ 作用的影响，靠管壁有一层流体不可动，那么毛管束 4 b(AA.-A.) 模型中任一半径为，的毛细管中可动部分的半径为 票(-么+(A-A =(r-h)广， (15) b(AA.-A.) -小 8uLQ (11) h:=r:- NT·△p 式中：b是管壁与水分子作用引起黏度增加的系数， 式中，V/W。=√aR。+bG+cz+d,h:是半径为r:的 Pa·smo是水相流体的初始黏度，Pa·s;A.是管壁 毛细管的界面层厚度，R。是孔喉比，G是形状因子，z 的哈默克常数，J;A.是水相的哈默克常数，J. 是配位数，Q:是半径为T:的毛细管在压差△p下考

第 4 期 邓庆军等: 多孔介质中微观力的作用及渗流模型 βs = 2μ4 s 3kT + 2αsμ2 s + 3 4 α2 s Is ( 9) 式中，μ0 为不考虑固液分子作用时水的黏度，b 是黏 度增加系数，x 为离固体表面的距离，μw、αw 和 Iw 分 别表示水分子的偶极距、极化率和电离能，μs、αs 和 Is 分别表示固体表面分子的偶极距、极化率和电离 能，Aw 和 AS 分别代表水相和固体管壁的哈默克常 数，ρw 和 ρs 分别为水相和固体管壁的密度． 2. 3 微圆管内流体的速度分布模型 按照假设条件化简 Navier-Stokes 方 程，结 合 式( 5) 的黏 度 方 程，求解得到流体在微圆管内的 速度: u = － dp d [ x 1 4μ0 ( Ｒ2 － r 2 ) + 1 2 b( 槡AsAw － Aw ) ( Ｒ － r) μ2 0 + 1 2 · b( 槡AsAw － Aw) Ｒln μ0Ｒ － μ0 r + b( 槡AsAw － Aw) b( 槡AsAw － Aw) μ2 0 + 1 2 · b 2 ( 槡AsAw － Aw) 2 ln μ0Ｒ － μ0 r + b( 槡AsAw － Aw) b( 槡AsAw － Aw) μ3 ] 0 ． ( 10) 2. 4 平均流量方程 微圆管截面的平均流量 Q = ∫ Ｒ 0 udA = ∫ Ｒ 0 2πrudr， 结合式( 10) 可求得 Q = uA = π 8 ·Ｒ4 μ0 ·dp dx ·[ 4b 4 ( 槡AsAw － Aw ) 4 μ4 0Ｒ4 · ln μ0Ｒ + b( 槡AsAw － Aw ) b( 槡AsAw － Aw ) + 12b 2 ( 槡AsAw － Aw ) 2 μ2 0Ｒ4 ln μ0Ｒ + ( 槡AsAw － Aw ) ( 槡AsAw － Aw ) － 4b 3 μ3 0Ｒ3 ( 槡AsAw － Aw ) 3 － 10b 2 μ2 0Ｒ2 ( 槡AsAw － Aw ) 2 + b μ0Ｒ( 槡AsAw － Aw ) ln μ0Ｒ + b( 槡AsAw － Aw ) b( 槡AsAw － Aw ) + 12b 3 μ3 0Ｒ3 ( 槡AsAw － Aw ) 3 ln μ0Ｒ + b( 槡AsAw － Aw ) b( 槡AsAw － Aw ) － 22b 3μ0Ｒ( 槡AsAw － Aw ) － 1 ] ． ( 11) 式中: b 是管壁与水分子作用引起黏度增加的系数， Pa·s·m; μ0 是水相流体的初始黏度，Pa·s; As 是管壁 的哈默克常数，J; Aw 是水相的哈默克常数，J． 当不考虑管壁与流体的固液界面作用时，即 As = Aw，代入式( 11) ，则式( 11) 可退化为泊肃叶定 律的形式，即 Q = π 8 ·Ｒ4 μ0 ·dp dx ． ( 12) 3 考虑微观力作用的多孔介质的毛管束网 络数学模型 3. 1 基本假设 毛管束模型的假设条件如下: 该模型由 n 根等 长度为 L 的不同直径的毛细管所组成，各毛细管之 间有封闭体积，毛管束集合的半径分布符合分布函 数 f( r) ，毛管束集合的半径大小与多孔介质当中的 喉道半径基本一致，单根毛细管内流体的流动都遵 循泊肃叶定律． 模型形状为岩心状，长度为 L，模型 的孔隙度为 ，考虑毛管压力对毛管束模型的影响． 假设毛管束模型内饱和水，毛细管的润湿性满足一 定比例，用原油驱替毛细管中的水相，则按照模型假 设，亲水的毛细管分为不动区域和可动区域，不动区 域内为束缚水，可动区域内为原油; 亲油的毛细管也 分为不动区域和可动区域，不动区域和可动区域都 是原油． 在两端压力差 Δp 的作用下，建立水驱毛细 管束模型． 若考虑毛管力 pc 的影响，只有当模型两端压力 Δp ＞ pc 时，毛细管内的原油才能被驱动，单根毛细 管的毛管压力公式为 pc = 2σcosθ r ． ( 13) 故存在一个临界半径 rp，r≤rp 的毛细管内原油不能 被驱动，r ＞ rp 的毛细管内的原油可以被驱动，临界 半径 rp 可表达为 rp = 2σcosθ Δp ． ( 14) 3. 2 毛细管的可动半径模型 假设毛管束模型中的毛细管，受地层孔喉特性 参数( 孔喉比、形状因子和配位数) 及微观固液分子 作用的影响，靠管壁有一层流体不可动，那么毛管束 模型中任一半径为 ri的毛细管中可动部分的半径为 rdi = ( ri － hi ) V Vp ， ( 15) hi = ri － 4 8μLQi 槡π·Δp ． 式中，V /Vp = 槡aＲp + bG + cz + d，hi 是半径为 ri 的 毛细管的界面层厚度，Ｒp 是孔喉比，G 是形状因子，z 是配位数，Qi 是半径为 ri 的毛细管在压差 Δp 下考 ·419·

·420 北京科技大学学报 第36卷 虑管壁与流体间范德华力作用的流量，V是孔隙可 度L,孔隙介质毛管束模型可用迂曲度？来校正，迂 动体积，V。是孔隙体积，a、b、c和d是常数. 曲度可以表示为 3.3毛管束模型出口端流量 (23) 对于整个毛管束模型，在水驱t时刻的模型出 口端的总流量为 式中，L,是流体实际的流动路径长度，L是岩心长 ∑9 度.所以，校正后的渗透率K的表达式为 Q= (16) 式中，q是第i根毛细管在驱替t时刻后的出口端的 中∑ 流量，9u满足 K= (24) 8r 「Trd.P:-Pw+Pe 引 8u.L+（u.-u。）x: :≥rpt≤o(T): 那么在驱替1时刻油相渗透率为 qs=πri.P:-P K.4L0. (25) 8μw L T:≥rnt>to(r); TD△p 10 T:≤rp 水相渗透率为 (17) K=“ (26) TD△p 式中，P为第i根毛细管油水两相的毛管力 在驱替1时刻油相相对渗透率为 在驱替t时刻后，整个毛管束模型出口端的总 K。 油流量为 Km二 (27) 0- (18) 水相相对渗透率为 式中，9是第i根毛细管在驱替t时刻后的出口端 会 (28) 的油流量，它满足 水驱油经过1时刻后，毛管束模型的含油饱和度为 a Pi-p.+peu 8u。L+uw-u。）xi :≥rnt≤to(r); mraxd 10 T:≥rpt>to(r); S。=1- Swe (29) 0 r≤Tp (19) 其中： 那么在驱替1时刻后，整个毛管束模型出口端的总 ∑DL 水流量为 Si= (30) Q.= (20) ∑L 式中，q是第i根毛细管在驱替t时刻后的出口端 (-),0to(r):(21) -u.L+√八a.2+rd.-u。(p+Po)4 lo T:≤Tp ≥rpl(): Lw-L。 3.4毛管束模型的渗透率和相对渗透率 ≥pt>o(): 若将毛管束模型看作是截面积为D,渗透率为 ≤p K,孔隙度为中的岩石多孔介质，那么由达西定律可知 (32) K=ulo 式中：S是毛管束模型的束缚水饱和度；Dm是第i (22) D△D 根毛细管的有效截面积，m2;x是第i根毛细管在驱 8∑ 替t时刻的水驱前缘位置，m;μ.和u。分别为不考 但是流体实际流过的平均路径要大于岩心的实际长 虑固液分子作用时水相和油相的黏度，mPa·s;0为

北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 虑管壁与流体间范德华力作用的流量，V 是孔隙可 动体积，Vp 是孔隙体积，a、b、c 和 d 是常数． 3. 3 毛管束模型出口端流量 对于整个毛管束模型，在水驱 t 时刻的模型出 口端的总流量为 Q = ∑ n i = 1 qdi ． ( 16) 式中，qdi是第 i 根毛细管在驱替 t 时刻后的出口端的 流量，qdi满足 qdi = πr 4 di 8 · pi － pw + pcdi μoL + ( μw － μo ) xi ri≥rp，t≤t0 ( rdi ) ; πr 4 di 8μw ·pi － pw L ri≥rp，t ＞ t0 ( rdi ) ; 0 ri≤rp        ． ( 17) 式中，pcdi为第 i 根毛细管油水两相的毛管力． 在驱替 t 时刻后，整个毛管束模型出口端的总 油流量为 Qo = ∑ n i = 1 qodi ． ( 18) 式中，qodi是第 i 根毛细管在驱替 t 时刻后的出口端 的油流量，它满足 qodi = πr 4 di 8 · pi － pw + pcdi μoL + ( μw － μo ) xdi ri≥rp，t≤t0 ( rdi ) ; 0 ri≥rp，t ＞ t0 ( rdi ) ; 0 ri≤rp        ． ( 19) 那么在驱替 t 时刻后，整个毛管束模型出口端的总 水流量为 Qw = ∑ n i = 1 qwdi ． ( 20) 式中，qwdi是第 i 根毛细管在驱替 t 时刻后的出口端 的水流量，它满足 qwdi = 0 ri≥rp，t≤t0 ( rdi ) ; πr 4 di 8μw ·pi － pw L ri≥rp，t ＞ t0 ( rdi ) ; 0 ri≤rp        ． ( 21) 3. 4 毛管束模型的渗透率和相对渗透率 若将毛管束模型看作是截面积为 D，渗透率为 K，孔隙度为  的岩石多孔介质，那么由达西定律可知 K = μLQ DΔp = ∑ n i = 1 r 4 di 8∑ n i = 1 r 2 i ． ( 22) 但是流体实际流过的平均路径要大于岩心的实际长 度 L，孔隙介质毛管束模型可用迂曲度 τ 来校正，迂 曲度可以表示为 τ = La L ． ( 23) 式中，La 是流体实际的流动路径长度，L 是岩心长 度． 所以，校正后的渗透率 K 的表达式为 K = ∑ n i = 1 r 4 di 8τ∑ n i = 1 r 2 i ． ( 24) 那么在驱替 t 时刻油相渗透率为 Ko = μoLQo τDΔp ， ( 25) 水相渗透率为 Kw = μw LQw τDΔp ; ( 26) 在驱替 t 时刻油相相对渗透率为 Kro = Ko K ， ( 27) 水相相对渗透率为 Krw = Kw K ; ( 28) 水驱油经过 t 时刻后，毛管束模型的含油饱和度为 So = 1 － ∑ n i = 1 πr 2 dixdi ∑ n i = 1 πr 2 i L － Swc ． ( 29) 其中: Swc = ∑ n i = 1 DwiL ∑ n i = 1 πr 2 i L ， ( 30) Dwi = π( r 2 i － r 2 di ) ， θ ＜ π 2 ; 0， θ≥ π 2 { ． ( 31) xdi = － μoL + ( μoL) 2 + r 2 di t( μw － μo ) ( Δp + pcdi 槡 ) /4 μw － μo ri≥rp，t≤t0 ( rdi ) ; L ri≥rp，t ＞ t0 ( rdi ) ; L ri≤rp        ． ( 32) 式中: Swc是毛管束模型的束缚水饱和度; Dwi 是第 i 根毛细管的有效截面积，m2 ; xdi是第 i 根毛细管在驱 替 t 时刻的水驱前缘位置，m; μw 和 μo 分别为不考 虑固液分子作用时水相和油相的黏度，mPa·s; θ 为 ·420·

第4期 邓庆军等：多孔介质中微观力的作用及渗流模型 ·421· 润湿接触角. 度为u.=1mPa·s,压力梯度为dp/dx=100kPa· 4实例分析 m,管壁的哈默克常数As取4.2×10-0、4.8× 10-20和5.4×10-0J时，模拟半径为1、10、100、 4.1不同管径的速度分布 1000um的圆管内水相速度分布如图5所示. 根据微圆管内流体的速度分布模型，在水相黏 1.0 1.0 、a A=4.2×10-J 0.8 0.8 1=42×100J A-4.8×10J b A=4.8×10m1 0.6 1-5.4×1029 0.6 1-54×1001 0.4 泊肃叶流动 04 泊肃叶流动 0.2 0.2 0 -0.2 -0.2 -0.4 -0.4 -0.6 -0.6 -0.8 -0.8 -10% 0.5 1.01.52.0 2.5 10% 30 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 速度103ms 速度10ms) 1.0 1.0 8( A=4.2×10-J 6 A=4.8×10-j 0.8( A=4.2×1020」 A=54×10J 0.6 1=4.8x10-9J 0.4 0.4 1=54×1n1 泊肃叶流动 泊肃叶流动 0.2 0.2 04 -0.2 g0.2 -0.4 -0.4 -0.6 -0.6 -0.8 -0.8 1% 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 106 10 15 20 速度m8 速度有mg 图5考虑微观力作用下不同管径的速度分布.(a)1μm:(b)10μm:(c)100μm:(d)1000um Fig.5 Velocity distribution at different diameters considering micro forces:(a)1 um:(b)10 um:(c)100 um:(d)1000 um 由图5可知：考虑管壁与流体之间的分子作用 1.0 时，微管内水相流动时的速度分布明显低于泊肃叶 0.9 e一平均配位数-3 流动，半径越小，与泊肃叶流动之间的速度差越大， 0.8 。一平均配位数=4 0.7 +一平均配位数=5 半径为1um时速度差很大；半径越大，考虑分子作 0.6 用的影响越小，水相流动越接近于泊肃叶流动，半径 0.5 0.4 为1000μm时速度差几乎为零.随着管壁的哈默克 3 常数增大，管壁与水相之间的分子作用逐渐减弱，水 02 0.1 相的流动速度越小. 0001020405067080910 4.2毛管束模型的相渗曲线 含水饱和度.S 根据毛管束模型的相对渗透率数学模型，水相 图6不同配位数下网络模型相渗曲线 黏度为0.001Pas,油相黏度为0.01Pa·s,圆管长度 Fig.6 Relative permeability curves of the network model at different 为0.05m,外加压差为0.005MPa,界面张力为 coordination numbers 0.02mNm1,毛细管的半径分布函数f(r)= 0.136e-40)] 流区变大，残余油饱和度减小.由于平均配位数增 ,模拟不同配位数、孔 大，油滴流动通道增加，水作为润湿相主要沿孔喉表 喉比、形状因子和哈默克常数时相渗曲线如图6~ 面运动，将油捕集在较大的孔隙中，利于油滴形成油 图9所示 流，所以提高了油相渗透率，流体被捕集的机会减 由图6可知，随着平均配位数的增大，两相共 少，使形成剩余油的概率下降，所以残余油饱和度

第 4 期 邓庆军等: 多孔介质中微观力的作用及渗流模型 润湿接触角． 4 实例分析 4. 1 不同管径的速度分布 根据微圆管内流体的速度分布模型，在水相黏 度为 μw = 1 mPa·s，压力梯度为 dp /dx = 100 kPa· m － 1 ，管壁的哈默克常数 AS 取 4. 2 × 10 － 20 、4. 8 × 10 － 20 和 5. 4 × 10 － 20 J 时，模 拟 半 径 为 1、10、100、 1000 μm 的圆管内水相速度分布如图 5 所示． 图 5 考虑微观力作用下不同管径的速度分布． ( a) 1 μm; ( b) 10 μm; ( c) 100 μm; ( d) 1000 μm Fig． 5 Velocity distribution at different diameters considering micro forces: ( a) 1 μm; ( b) 10 μm; ( c) 100 μm; ( d) 1000 μm 由图 5 可知: 考虑管壁与流体之间的分子作用 时，微管内水相流动时的速度分布明显低于泊肃叶 流动，半径越小，与泊肃叶流动之间的速度差越大， 半径为 1 μm 时速度差很大; 半径越大，考虑分子作 用的影响越小，水相流动越接近于泊肃叶流动，半径 为 1000 μm 时速度差几乎为零． 随着管壁的哈默克 常数增大，管壁与水相之间的分子作用逐渐减弱，水 相的流动速度越小． 4. 2 毛管束模型的相渗曲线 根据毛管束模型的相对渗透率数学模型，水相 黏度为 0. 001 Pa·s，油相黏度为 0. 01 Pa·s，圆管长度 为 0. 05 m，外 加 压 差 为 0. 005 MPa，界 面 张 力 为 0. 02 mN·m － 1 ，毛 细 管 的 半 径 分 布 函 数 f ( r) = 0 [ ( . 1336exp － r － 9. 103 ) 4. 14 ] 2 ，模拟不同配位数、孔 喉比、形状因子和哈默克常数时相渗曲线如图 6 ～ 图 9 所示． 由图 6 可知，随着平均配位数的增大，两相共 图 6 不同配位数下网络模型相渗曲线 Fig． 6 Ｒelative permeability curves of the network model at different coordination numbers 流区变大，残余油饱和度减小． 由于平均配位数增 大，油滴流动通道增加，水作为润湿相主要沿孔喉表 面运动，将油捕集在较大的孔隙中，利于油滴形成油 流，所以提高了油相渗透率，流体被捕集的机会减 少，使形成剩余油的概率下降，所以残余油饱和度 ·421·

·422 北京科技大学学报 第36卷 1.0 a-平均形状因子-0.0465 由图8可知，随着平均孔喉比增大，残余油饱和 0.9 平均形状因子=0.0628 0.8 平均形状因子=0.0796 度增大，两相共渗区变小.当孔喉比很小时，孔隙半 径与喉道半径差别不大，水驱替油较容易，不容易形 0.6 成剩余油，随着孔喉比增大，孔隙内流体的切应力减 0.4 小幅度十分明显，切应力随孔喉比的增大显著下降， 0.3 孔隙内流函数的数值依次减小，孔隙内流体速度减 02 0.1 小，形成剩余油，残余油饱和度增大 0%010204050.60.70.80.910 由图9可知，随着毛细管壁哈默克常数的增大， 含水饱和度.S 等渗点左移，两相共流区变小，残余油饱和度增大 图7 不同形状因子下网路模型相渗曲线 这是因为管壁的哈默克常数越大，管壁与流体之间 Fig.7 Relative permeability curves of the network model at different 的范德华力作用越大，毛细管内形成的界面层厚度 shape factors 增大，所以残余油饱和度增大 1.0 5结论 0.9 日平均孔喉比=20 。-平均孔喉比=40 0.8 平均孔喉比=60 (1)考虑管壁与流体之间分子作用，建立了牛 0.7 0.6 顿流体在微圆管内流动的数学模型，推导出牛顿流 0.S 体在微圆管内的速度分布和平均流量.由模拟结果 04 可知，考虑管壁与流体之间的分子作用时，微管内水 03 02 相流动时速度分布明显低于泊肃叶流动，半径越小， 0.1 与泊肃叶流动之间的速度差越大，半径1um时速度 0601020304050607080910 差很大；半径越大，考虑分子作用的影响越小，水相 含水饱和度，S 流动越接近于泊肃叶流动，半径1000μm时速度差 图8不同孔喉比下网路模型相渗曲线 几乎为零.随着管壁的哈默克常数增大，管壁与水 Fig.8 Relative permeability curves of the network model at different 相之间的分子作用逐渐减弱，水相的流动速度越小 pore throat ratios (2)建立了水驱油的毛细管束数学模型.毛细 1.0 管束模型的管径分布与岩石的喉道半径分布一致， 0.9 8-A=4.2×100J 0.8 ◆-A=4.8x109J 考虑了孔喉比、形状因子、配位数和管壁界面性质 +A=54×100J 0.7 (用管壁的Hamerker常数来表示)对两相渗流特征 的影响.计算结果表明：孔喉比越大，剩余油越大： 0.4 形状因子越小，剩余油越大：配位数越大，参与渗流 0.3 的喉道数目随之增加，剩余油越小：毛细管壁的哈默 0.2 克常数越大，剩余油越大 0.1 (3)通过模拟分析认清了微观力在多孔介质壁 00.10.2030.40.50.60.70.80.91.0 含水饱和度.S 面上的作用及对渗流的影响，阐明了孔喉比、形状因 子、配位数和管壁界面性质(Hamerker常数)对两相 图)不同哈默克数下网络模型相渗曲线 Fig.9 Relative permeability curves of the network model at different 渗流特征的影响.模拟结果与微管实验结果和实际 Hamerker numbers 相一致 减小 考文献 由图7可知：随着形状因子的减小，残余油饱和 Zhang C B,Chen Y P,Shi M H,et al.Fractal characteristics of 度增加，两相共流区变小.这是因为形状因子越小， surface roughness and its effect on laminar flow in microchannels. 孔隙越复杂，角隅越多，而在水湿体系中，复杂的孔 Acta Phys Sin,2009,58(10):7050 (张程宾，陈永平，施明恒，等.表面粗糙度的分形特征及其 隙形状使水易于连通，对存在于孔喉中央位置的原 对微通道内层流流动的影响.物理学报，2009,58(10)： 油产生一种“圈闭”作用时，因此残余油饱和度 7050) 增加. 2] Qin F H,Yao J C,Sun D J,et al.Experimental measurement for

北 京 科 技 大 学 学 报 第 36 卷 图 7 不同形状因子下网络模型相渗曲线 Fig． 7 Ｒelative permeability curves of the network model at different shape factors 图 8 不同孔喉比下网络模型相渗曲线 Fig． 8 Ｒelative permeability curves of the network model at different pore throat ratios 图 9 不同哈默克数下网络模型相渗曲线 Fig． 9 Ｒelative permeability curves of the network model at different Hamerker numbers 减小． 由图 7 可知: 随着形状因子的减小，残余油饱和 度增加，两相共流区变小． 这是因为形状因子越小， 孔隙越复杂，角隅越多，而在水湿体系中，复杂的孔 隙形状使水易于连通，对存在于孔喉中央位置的原 油产生 一 种“圈 闭”作 用 时，因 此 残 余 油 饱 和 度 增加． 由图 8 可知，随着平均孔喉比增大，残余油饱和 度增大，两相共渗区变小． 当孔喉比很小时，孔隙半 径与喉道半径差别不大，水驱替油较容易，不容易形 成剩余油，随着孔喉比增大，孔隙内流体的切应力减 小幅度十分明显，切应力随孔喉比的增大显著下降， 孔隙内流函数的数值依次减小，孔隙内流体速度减 小，形成剩余油，残余油饱和度增大． 由图 9 可知，随着毛细管壁哈默克常数的增大， 等渗点左移，两相共流区变小，残余油饱和度增大． 这是因为管壁的哈默克常数越大，管壁与流体之间 的范德华力作用越大，毛细管内形成的界面层厚度 增大，所以残余油饱和度增大． 5 结论 ( 1) 考虑管壁与流体之间分子作用，建立了牛 顿流体在微圆管内流动的数学模型，推导出牛顿流 体在微圆管内的速度分布和平均流量． 由模拟结果 可知，考虑管壁与流体之间的分子作用时，微管内水 相流动时速度分布明显低于泊肃叶流动，半径越小， 与泊肃叶流动之间的速度差越大，半径 1 μm 时速度 差很大; 半径越大，考虑分子作用的影响越小，水相 流动越接近于泊肃叶流动，半径 1000 μm 时速度差 几乎为零． 随着管壁的哈默克常数增大，管壁与水 相之间的分子作用逐渐减弱，水相的流动速度越小． ( 2) 建立了水驱油的毛细管束数学模型． 毛细 管束模型的管径分布与岩石的喉道半径分布一致， 考虑了孔喉比、形状因子、配位数和管壁界面性质 ( 用管壁的 Hamerker 常数来表示) 对两相渗流特征 的影响． 计算结果表明: 孔喉比越大，剩余油越大; 形状因子越小，剩余油越大; 配位数越大，参与渗流 的喉道数目随之增加，剩余油越小; 毛细管壁的哈默 克常数越大，剩余油越大． ( 3) 通过模拟分析认清了微观力在多孔介质壁 面上的作用及对渗流的影响，阐明了孔喉比、形状因 子、配位数和管壁界面性质( Hamerker 常数) 对两相 渗流特征的影响． 模拟结果与微管实验结果和实际 相一致． 参 考 文 献 ［1］ Zhang C B，Chen Y P，Shi M H，et al． Fractal characteristics of surface roughness and its effect on laminar flow in microchannels． Acta Phys Sin，2009，58( 10) : 7050 ( 张程宾，陈永平，施明恒，等． 表面粗糙度的分形特征及其 对微通道内层流流动的影响． 物 理 学 报，2009，58 ( 10 ) : 7050) ［2］ Qin F H，Yao J C，Sun D J，et al． Experimental measurement for ·422·

第4期 邓庆军等：多孔介质中微观力的作用及渗流模型 ·423· the gas flow rates in microscale circular pipe.J Exp Mech,2001, 出版社，2006) 16(2):119 [10]Ren C L,Li D Q.Improved understanding of the effect of electri- (秦丰华，姚久成，孙德军，等.微尺度圆管内气体流量的实 cal double layer on pressure-driven flow in microchannels.Anal 验测量.实验力学，2001,16(2)：119) Chim Acta,2005,531:15 B]Zhang C P,Tang D W,Han P,et al.A perturbation analysis of [11]Hsieh SS,Lin C Y.Convective heat transfer in liquid micro- wall roughness effects on flow in microtube.J Eng Thermophys, channels with hydrophobic and hydrophilic surfaces.Int Heat 2008,29(5):849 Mass Transfer,2009,52(1/2):260 (张春平，唐大伟，韩鹏，等.粗糙度对微细圆管内流动特性 [12]Jain A,Jensen M K.Analytical modeling of electrokinetic effects 影响的摄动分析.工程热物理学报，2008,29(5)：849) on flow and heat transfer in microchannels.Int J Heat Mass 4]Tang Z A,Wang L D.On microscale theory.Opt Precis Eng, Transfer,2007,50(25):5161 2001,9(6):493 [13]Hwang P W,Soong C Y.Investigation of variable-property micro- (唐祯安，王立鼎.关于微尺度理论.光学精密工程，2001,9 channel flows with electro-hermo-hydrodynamic interactions at (6):493) constant pressure gradient or constant flow rate.Int J Heat Mass 5]Li Z H,Cui HH.Characteristics of micro scale flow.J Mech Transfer,2008,51(1/2):210 Strength,2001,23(4):476 [14]Rabinovich Y I,Adler JJ,Esayanur M S,et al.Capillary forces (李战华，崔海航.微尺度流动特性.机械强度，2001,23(4)： between surfaces with nanoscale roughness.Ade Colloid Interface 476) Sai,2002,96:213 [6]Wang Y,Diao Y H,Zhao Y H.An experimental study on fluid [15]Warrier M,Rai A,Schneider R.A time dependent model to flow characteristics in microchannels.J Eng Thermophys,2010, study the effect of surface roughness on reactive-diffusive transport 31(6):998 in porous media.J Nucl Mater,2009,390/391:203 (王樱，刁彦华，赵耀华.微通道内流体流动的阻力特性.工 06] Anikin Y A,Derbakova E P,Dodulad O I,et al.Computing of 程热物理学报，2010,31(6)：998) gas flows in microand nanoscale channels on the base of the Bolt- Huang L.Features and affecting factors of micro size liquid move- zmann kinetic equation.Procedia Comput Sci,2010,1(1):735 ment.Shanxi Archit,2007,33(32)195 07] Oliveira R S,Andrade JS Jr.Andrade R FS.Fluid flow through (黄蕾.微尺度下液体流动的特点及其影响因素.山西建筑， Apollonian packings.Phys Rer E,2010.81 (4):article No. 2007,33(32):195) 047302 [8]Ling Z Y,Ding J N,Yang J C,et al.Research advance in mi- [18]Raviv U,Perkin S,Laurat P,et al.Fluidity of water confined crofluid and its influencing factors.J Jiangsu Unir Nat Sci,2002, down to subnanometer films.Langmuir,2004,20(13):5322 23(6):1 [19]Christenson H K,Claesson P M.Direct measurements of the (凌智勇，丁建宁，杨继昌，等.微流动的研究现状及影响因 force between hydrophobic surfaces in water.Adr Colloid Inter- 素.江苏大学学报：自然科学版，2002,23(6)：1) face Sci,2001,91(3):391 9]Zhang LJ.Zheng Z.Colloid and Interface Chemistry.2nd Ed, D0]Georges J M,Millot S,Loubet JL,et al.Drainage of thin liquid Guangzhou:South China University of Technology Press,2006 films between relatively smooth surfaces.J Chem Phys,1993,98 (章莉娟，郑忠.胶体与界面化学.2版.广州：华南理工大学 (9):7345

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