基于状态观测器的线性离散时间系统的最优预见控制

研究了带有预见信息的线性离散时间系统的状态观测器，并将其应用到预见控制系统.为了满足设计观测器的需要，首先导出了包含可预见的目标值信号和干扰信号的扩大误差系统，并由此得到最优预见控制器.在设计状态观测器时，通过改写输出方程充分利用了可预见的目标值信号和干扰信号.设计的状态观测器针对原系统是全维观测器，而针对扩大误差系统则是降维观测器.最后通过数值仿真证明了所设计的状态观测器的有效性.

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第36卷第3期北京科技大学学报 Vol.36 No.3 2014年3月 Journal of University of Science and Technology Beijing Mar.2014 基于状态观测器的线性离散时间系统的最优预见控制廖福成，陈平北京科技大学数理学院，北京100083 ☒通信作者，E-mail:feliao(@usth.cdu.cn 摘要研究了带有预见信息的线性离散时间系统的状态观测器，并将其应用到预见控制系统.为了满足设计观测器的需要，首先导出了包含可预见的目标值信号和干扰信号的扩大误差系统，并由此得到最优预见控制器.在设计状态观测器时，通过改写输出方程充分利用了可预见的目标值信号和干扰信号.设计的状态观测器针对原系统是全维观测器，而针对扩大误差系统则是降维观测器.最后通过数值仿真证明了所设计的状态观测器的有效性. 关键词离散时间系统：状态估计：预见控制：最优控制分类号TP273 Optimal preview control based on state observers for linear discrete-time systems LIAO Fu-cheng,CHEN Ping School of Mathematics and Physics,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:feliao@ustb.edu.cn ABSTRACT A state observer with preview information for linear discrete-time systems was studied and applied to preview control systems.To design the state observer,an augmented error system with previewable desired tracking and disturbance signals was derived first,which leads to obtaining an optimal preview controller.While in designing the state observer,previewable desired tracking and disturbance signals were fully utilized through reformulation of the output equation.The state observer is a full-order dimensional ob- server with respect to the original system;whereas it is a reduced-order observer with respect to the augmented error system.Numerical simulation verifies the effectiveness of the state observer. KEY WORDS discrete time control systems;state estimation:preview control;optimal control 在实际问题中，很多系统的目标值信号或干扰广义系统的预见控制等问题的研究见文献21一信号是已知的.在这种情况下，人们利用这些已知 23]. 的或称为可预见的目标值信号或干扰信号设计预见在系统状态变量的一些分量不能够用于状态反控制系统，使得闭环系统的跟踪性能得以提高.预馈时，可以采用Luenberger观测器估计这些状态分见控制概念从提出至今有近50年，己经有了一整套量，然后用于状态反馈4-).本文研究常系数线性的理论和方法.针对常系数线性系统的最优预预见控制系统的观测器.首先构造包含可预见的目见控制问题研究得最为深刻59.预见控制系统的标值信号和干扰信号的统一的扩大误差系统，并由鲁棒性问题也得到了较为充分的研究0-四.从此出发设计系统的最优预见控制器.然后把可预见 2003年起，廖福成及其研究团队对预见控制理论进的目标值信号和干扰信号的信息加入扩大误差系统行了扩展.例如，文献3]提出多采样率系统的预的观测量，设计出状态观测器.为了简便，所设计的见控制问题，并通过文献4-16]进行了推广；文献是关于原系统的全维状态观测器，而针对扩大误差系统而言，则是降维状态观测器.这些结果容易推 7-20]研究了时变线性系统的预见控制问题，而收稿日期：201301-03 DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2014.03.018:http://jourals.ustb.edu.cn

第 36 卷第 3 期 2014 年 3 月北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol． 36 No． 3 Mar． 2014 基于状态观测器的线性离散时间系统的最优预见控制廖福成，陈平北京科技大学数理学院，北京 100083  通信作者，E-mail: fcliao@ ustb． edu． cn 摘要研究了带有预见信息的线性离散时间系统的状态观测器，并将其应用到预见控制系统．为了满足设计观测器的需要，首先导出了包含可预见的目标值信号和干扰信号的扩大误差系统，并由此得到最优预见控制器．在设计状态观测器时，通过改写输出方程充分利用了可预见的目标值信号和干扰信号．设计的状态观测器针对原系统是全维观测器，而针对扩大误差系统则是降维观测器．最后通过数值仿真证明了所设计的状态观测器的有效性．关键词离散时间系统; 状态估计; 预见控制; 最优控制分类号 TP 273 Optimal preview control based on state observers for linear discrete-time systems LIAO Fu-cheng ，CHEN Ping School of Mathematics and Physics，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China  Corresponding author，E-mail: fcliao@ ustb． edu． cn ABSTＲACT A state observer with preview information for linear discrete-time systems was studied and applied to preview control systems． To design the state observer，an augmented error system with previewable desired tracking and disturbance signals was derived first，which leads to obtaining an optimal preview controller． While in designing the state observer，previewable desired tracking and disturbance signals were fully utilized through reformulation of the output equation． The state observer is a full-order dimensional observer with respect to the original system; whereas it is a reduced-order observer with respect to the augmented error system． Numerical simulation verifies the effectiveness of the state observer． KEY WOＲDS discrete time control systems; state estimation; preview control; optimal control 收稿日期: 2013--01--03 DOI: 10． 13374 /j． issn1001--053x． 2014． 03． 018; http: / /journals． ustb． edu． cn 在实际问题中，很多系统的目标值信号或干扰信号是已知的．在这种情况下，人们利用这些已知的或称为可预见的目标值信号或干扰信号设计预见控制系统，使得闭环系统的跟踪性能得以提高．预见控制概念从提出至今有近 50 年，已经有了一整套的理论和方法［1--6］．针对常系数线性系统的最优预见控制问题研究得最为深刻［5--9］．预见控制系统的鲁棒性问题也得到了较为充分的研究［10--12］．从 2003 年起，廖福成及其研究团队对预见控制理论进行了扩展．例如，文献［13］提出多采样率系统的预见控制问题，并通过文献［14--16］进行了推广; 文献［17--20］研究了时变线性系统的预见控制问题，而广义系统的预见控制等问题的研究见文献［21-- 23］．在系统状态变量的一些分量不能够用于状态反馈时，可以采用 Luenberger 观测器估计这些状态分量，然后用于状态反馈［24--25］．本文研究常系数线性预见控制系统的观测器．首先构造包含可预见的目标值信号和干扰信号的统一的扩大误差系统，并由此出发设计系统的最优预见控制器．然后把可预见的目标值信号和干扰信号的信息加入扩大误差系统的观测量，设计出状态观测器．为了简便，所设计的是关于原系统的全维状态观测器，而针对扩大误差系统而言，则是降维状态观测器．这些结果容易推

第3期磨福成等：基于状态观测器的线性离散时间系统的最优预见控制 ·391· 广到连续时间预见控制系统、时变预见控制系统、多目标值预见，而文献2]分别考虑目标值预见和干采样率预见控制系统及广义预见控制系统.最后，扰预见，然后把控制器中的目标值预见项和干扰预本文把状态观测器用于预见控制系统中，并通过数见项简单相加作为一般结果.为了利用可预见信息值仿真验证其有效性构造观测器，需要同时设计目标值预见项和干扰预 1基本假设与数学模型见项.因此，本文首先构造统一的扩大误差系统，然后设计最优预见控制器，最后设计观测器，给出利用考虑线性离散时间系统观测器的闭环控制系统 [x(k+1)=Ax(k)+Bu (k)+Ed(k), (1) Ly(k)=Cx(k). 2基于状态观测器的最优预见控制器式中：x()eR",u(k)∈R',y(k)∈Rm,d(k)∈R 2.1包含可预见信号的扩大误差系统及带有预见分别是系统的状态向量、输入向量、输出向量和干扰作用的控制器向量；：A、B、C和E是具有相应维数的常数矩阵.设采用类似于文献2-4,12,14]的方法，用差分目标值信号为R(k)∈R. 算子△（△x(k)=x(k)-x(k-1))作用到误差向量对系统(1)作如下假设 e(k+1)上，并作用到系统方程(1)两边，可以得到假设1设系统(1)可镇定、可检测. 扩大误差系统假设2设目标值信号R(k)的可预见步数为 X(k+1)=ΦX。(k)+G△u(k)+GR△R(k+1)+ Me,即设在当前时刻k,R(k)的当前值和MR步未来 Ga△d() (5) 值R(),R(k+1),R(k+2),…,R(k+MR)为己知，其中 Me步之后认为它是常数，即 R(k+j)=R(k+MR),j=Mg+1,Mg +2,. x因]m-[64c=g 假设3设干扰信号d()的可预见步数为M, 即设在当前时刻k,d(k)的当前值和M步未来值 a-616,=g1 d(k),d(k+1),d(k+2),…,d(k+M)为己知，M4 考虑到系统方程(1)的输出方程y(k)=Cx(k),式步之后认为它是常数，即 (5)的输出方程可以取为 d(k+j)=d(k+Ma),j=Ma+1,Ma+2,... e(k)=CoXo(k) 假设1是对控制系统的基本要求，假设2和假式中，C。=m0]. 设3分别是关于目标值信号和干扰信号可预见性的假设.理论研究和真实实例均表明，距离当前时刻然后再对目标值信号R(k)和干扰信号d(k)进较远的未来目标值信号和未来干扰信号对系统性能行类似操作，并令的影响不大，所以一般都假设可预见步数之外它们 △R(k) △d(k) 的值等于常数一.事实上，普通的反馈控制系统 △R(k+1) △d(k+1) XR()= ,X(k)= 不利用可预见信号，相当于取预见步数为零定义误差信号 △R(k+MR) △d(k+M) e(k)=R(k)-y() (2) 0 01 我们希望设计一个控制器，使输出向量y(k)无静态误差地跟踪目标值信号R(),即 AR= 0 lime(k)lim [R(k)-y(]=0. (3) I 引入二次型性能指标函数 0 0 m(Mg+1)×m(.MR+I) I. 0 0、 ,[e'(k)Q.e(k)+△(k)H△u()]. (4) A= 0 其中，Q.>0,H>0.按照文献B4]的结论，在性能指标函数中包含△“(k)可以使得闭环系统包含积 LO 0J)xM+) 分器，从而有利于消除静态误差. 从假设2和假设3知有XR(k+1)=AXe(k), 对于预见控制模型，文献B-4,6]仅仅考虑了 X,(k+1)=AX(k).把这两个关系式与式(5)结

第 3 期廖福成等: 基于状态观测器的线性离散时间系统的最优预见控制广到连续时间预见控制系统、时变预见控制系统、多采样率预见控制系统及广义预见控制系统．最后，本文把状态观测器用于预见控制系统中，并通过数值仿真验证其有效性． 1 基本假设与数学模型考虑线性离散时间系统 x( k + 1) = Ax( k) + Bu( k) + Ed( k) ， {y( k) = Cx( k) ． ( 1) 式中: x( k) ∈Ｒn ，u( k) ∈Ｒr ，y( k) ∈Ｒm，d( k) ∈Ｒq 分别是系统的状态向量、输入向量、输出向量和干扰向量; A、B、C 和 E 是具有相应维数的常数矩阵．设目标值信号为Ｒ( k) ∈Ｒm ．对系统( 1) 作如下假设．假设 1 设系统( 1) 可镇定、可检测．假设 2 设目标值信号Ｒ( k) 的可预见步数为 MＲ，即设在当前时刻 k，Ｒ( k) 的当前值和 MＲ步未来值Ｒ( k) ，Ｒ( k + 1) ，Ｒ( k + 2) ，…，Ｒ( k + MＲ ) 为已知， MＲ步之后认为它是常数，即Ｒ( k + j) = Ｒ( k + MＲ ) ，j = MＲ + 1，MＲ + 2，…．假设 3 设干扰信号 d( k) 的可预见步数为 Md，即设在当前时刻 k，d( k) 的当前值和 Md 步未来值 d( k) ，d( k + 1) ，d( k + 2) ，…，d( k + Md ) 为已知，Md 步之后认为它是常数，即 d( k + j) = d( k + Md ) ，j = Md + 1，Md + 2，…．假设 1 是对控制系统的基本要求，假设 2 和假设 3 分别是关于目标值信号和干扰信号可预见性的假设．理论研究和真实实例均表明，距离当前时刻较远的未来目标值信号和未来干扰信号对系统性能的影响不大，所以一般都假设可预见步数之外它们的值等于常数［2--4，13］．事实上，普通的反馈控制系统不利用可预见信号，相当于取预见步数为零．定义误差信号 e( k) = Ｒ( k) － y( k) ． ( 2) 我们希望设计一个控制器，使输出向量 y( k) 无静态误差地跟踪目标值信号Ｒ( k) ，即 lim k→∞ e( k) = limk→∞ ［Ｒ( k) － y( k) ］= 0． ( 3) 引入二次型性能指标函数 J = ∑ ∞ k = 1 ［eT ( k) Qee( k) + ΔuT ( k) HΔu( k) ］． ( 4) 其中，Qe ＞ 0，H ＞ 0．按照文献［3--4］的结论，在性能指标函数中包含 Δu( k) 可以使得闭环系统包含积分器，从而有利于消除静态误差．对于预见控制模型，文献［3--4，6］仅仅考虑了目标值预见，而文献［2］分别考虑目标值预见和干扰预见，然后把控制器中的目标值预见项和干扰预见项简单相加作为一般结果．为了利用可预见信息构造观测器，需要同时设计目标值预见项和干扰预见项．因此，本文首先构造统一的扩大误差系统，然后设计最优预见控制器，最后设计观测器，给出利用观测器的闭环控制系统． 2 基于状态观测器的最优预见控制器 2. 1 包含可预见信号的扩大误差系统及带有预见作用的控制器采用类似于文献［2--4，12，14］的方法，用差分算子 Δ( Δx( k) = x( k) － x( k － 1) ) 作用到误差向量 e( k + 1) 上，并作用到系统方程( 1) 两边，可以得到扩大误差系统 X0 ( k + 1) = ΦX0 ( k) + GΔu( k) + GＲΔＲ( k + 1) + GdΔd( k) ． ( 5) 其中 X0 ( k) = e( k) Δx( k [ ] ) ，Φ = Im － CA 0 [ ] A ，G = － CB [ B ] ， GＲ = Im [ ] 0 ，Gd = － CE [ E ]．考虑到系统方程( 1) 的输出方程 y( k) = Cx( k) ，式 ( 5) 的输出方程可以取为 e( k) = C0X0 ( k) ．式中，C0 =［Im 0］．然后再对目标值信号Ｒ( k) 和干扰信号 d( k) 进行类似操作，并令 XＲ ( k) = ΔＲ( k) ΔＲ( k + 1)  ΔＲ( k + MＲ            )  ，Xd ( k) = Δd( k) Δd( k + 1)  Δd( k + Md            )  ， AＲ = 0 Im 0 … 0         0   Im 0 … … …              0  m( MＲ + 1) × m( MＲ + 1) ， Ad = 0 Iq 0 … 0         0   Iq 0 … … …              0  q( Md + 1) × q( Md + 1) ．从假设 2 和假设 3 知有 XＲ ( k + 1 ) = AＲXＲ ( k) ， Xd ( k + 1) = AdXd ( k) ．把这两个关系式与式( 5) 结 · 193 ·

·392· 北京科技大学学报第36卷合，得到 X(k+1)=ΦX(k)+Gx△u(k). (6) J= K(k)Qx(k)+△uT(k)H△u(A]. 其中 (9) e() 「X(k)1 △x(k) X(k)= Xg(k) Xx (k) Q为m+n+m(MR+1)+g(M:+1)阶方阵 X(k) x (k) 引理2如果以下条件满足 G (①)(A,B)可镇定，且矩阵A-IB1 行满秩， x=0AR c o 0 0 L00 0 (2)(C,A)可检测， A G。=DGg0… O]∈Rm+a×m(MR+i), (3)2.>0, 则系统(8)的使性能指标函数(9)取最小值的带有 Gx=[G。00…0]∈Ra+dxg(w4+D 预见前馈作用的最优输入为同时还有 e(k)=CX(k). (7) △u(k)=FaX(k)+ 三F,月△Rk+切+ 其中 C,=[C00]= 0]ERxEm+n+m(Mg+)M+D] E,△ak+D=F,e()+F.ar( 综合式(6)和(7)，得到系统 (X(k+1)=x(k)+GxAu(k), 三F分△Rk+n+言E,分auk+n 三0 (8) le(k)=CX(k). (10) 这就是所需要的扩大误差系统式中，如果(8)的闭环系统渐近稳定，就能够使式(3) F。=F.F]=-H+GPG]-'GPΦ，成立.因此问题转变为研究形式系统(8)的控制问 (11) 题.为了下面证明方便，对④x和Gx进行如下 Fk()=-H+GPG]G ()PGR 分块： (=1,2,,M), (12) [I -CA -CBT F (j)=-[H+GPG]GT ()PG 0 A :0 Giz B （=0,1,2,…,M), (13) x= Gx= 0 0 专=重+GFo- (14) 00 0A 0 P是如下代数Riccati方程的解： P=Q+Φ'PΦ-ΦPGH+GPG]-GPΦ. 式中， (15) Gg=01n0…0], (MR-1)个0陆xm 2.2状态观测器的设计 G4=[-CE00…0], 如果有部分状态变量不能直接用于反馈，我们 M个dmxg Gh=E00…0] 可以设计状态观测器.原系统部分状态变量不能直 M个0nx9 接用于反馈相当于式(10)中X。的部分向量△x(k) 首先，需要知道系统(1)满足什么条件时系统有一些分量不能直接用于反馈.为简单起见，设计 (8)是可镇定和可检测的.下面的两个引理可以用针对△x(k)的状态观测器.由于这里的控制输入是类似于文献4,13]的方法证明，此处从从扩大误差系统(8)出发确定的，所以利用系统(8) 引理1若(A,B)可镇定且矩阵 A-IB1行来设计观测器，这相当于系统(8)的降维观测器. c o 系统(8)的状态向量中包括XR(k)和X(k), 满秩，则系统(8)可镇定.若(C,A)可检测，则系统而这是可预见的量，因此在设计观测器时可以利用. (8)可检测. 为此，把观测方程改为其次，把性能指标函数转化为用系统(8)的有 Z(k)=C,X(k). (16) 关量表示：其中

北京科技大学学报第 36 卷合，得到 X( k + 1) = ΦXX( k) + GXΔu( k) ． ( 6) 其中 X( k) = X0 ( k) XＲ ( k) Xd ( k           )  = e( k) Δx( k) XＲ ( k) Xd ( k             )  ， ΦX = Φ GXＲ GXd 0 AＲ 0 0 0 A               d  ，GX = G         0 0 ， GXＲ =［0 GＲ 0 … 0］∈Ｒ( m + n) × m( MＲ + 1) ， GXd =［Gd 0 0 … 0］∈Ｒ( m + n) × q( Md + 1) ．同时还有 e( k) = C1X( k) ． ( 7) 其中 C1 =［C0 0 0］= ［Im 0］∈Ｒm ×［m + n + m( MＲ + 1) + q( Md + 1) ］．综合式( 6) 和( 7) ，得到系统 X( k + 1) = ΦXX( k) + GXΔu( k) ， {e( k) = C1X( k) ． ( 8) 这就是所需要的扩大误差系统．如果( 8) 的闭环系统渐近稳定，就能够使式( 3) 成立．因此问题转变为研究形式系统( 8) 的控制问题．为了下面证明方便，对 ΦX 和 GX 进行如下分块: ΦX = Im － CA GＲ1 Gd1 0 A 0 Gd2 0 0 AＲ 0 0 0 0 A                            d  ，GX = － CB B              0 0 ．式中， GＲ1 =［0 Im 0 …{0 ( MＲ－ 1) 个0m × m ］， Gd1 =［－ CE 0 0  …  0 Md个0m × q ］， Gd2 =［E 0 0  …  0 Md个0n × q ］．首先，需要知道系统( 1) 满足什么条件时系统 ( 8) 是可镇定和可检测的．下面的两个引理可以用类似于文献［4，13］的方法证明，此处从略．引理 1 若( A，B) 可镇定且矩阵 A － I B [ C ] 0 行满秩，则系统( 8) 可镇定．若( C，A) 可检测，则系统 ( 8) 可检测．其次，把性能指标函数转化为用系统( 8) 的有关量表示: J = ∑ ∞ k = 1 ［XT ( k) QX( k) + ΔuT ( k) HΔu( k) ］． ( 9) 其中 Q = ^ Q 0 [ ] 0 0 ，^ Q = Qe 0 [ ] 0 0 ，^ Q 为 m + n 阶方阵， Q 为 m + n + m( MＲ + 1) + q( Md + 1) 阶方阵．引理 2 如果以下条件满足 ( 1) ( A，B) 可镇定，且矩阵 A － I B [ C ] 0 行满秩， ( 2) ( C，A) 可检测， ( 3) Qe ＞ 0，则系统( 8) 的使性能指标函数( 9) 取最小值的带有预见前馈作用的最优输入为 Δu( k) = F0X0 ( k) + ∑ MＲ j = 1 FＲ ( j) ΔＲ( k + j) + ∑ Md j = 0 Fd ( j) Δd( k + j) = Fee( k) + FxΔx( k) + ∑ MＲ j = 1 FＲ ( j) ΔＲ( k + j) + ∑ Md j = 0 Fd ( j) Δd( k + j) ． ( 10) 式中， F0 =［Fe Fx］= －［H + GT PG］－ 1GT PΦ， ( 11) FＲ ( j) = －［H + GT PG］－ 1GT ( ξT ) j － 1PGＲ ( j = 1，2，…，MＲ ) ， ( 12) Fd ( j) = －［H + GT PG］－ 1GT ( ξT ) j PGd ( j = 0，1，2，…，Md ) ， ( 13) ξ = Φ + GF0 ． ( 14) P 是如下代数Ｒiccati 方程的解: P = ^ Q + ΦT PΦ － ΦT PG［H + GT PG］－ 1GT PΦ． ( 15) 2. 2 状态观测器的设计如果有部分状态变量不能直接用于反馈，我们可以设计状态观测器．原系统部分状态变量不能直接用于反馈相当于式( 10) 中 X0 的部分向量 Δx( k) 有一些分量不能直接用于反馈．为简单起见，设计针对 Δx( k) 的状态观测器．由于这里的控制输入是从扩大误差系统( 8) 出发确定的，所以利用系统( 8) 来设计观测器，这相当于系统( 8) 的降维观测器．系统( 8) 的状态向量中包括 XＲ ( k) 和 Xd ( k) ，而这是可预见的量，因此在设计观测器时可以利用．为此，把观测方程改为 Z( k) = CZX( k) ． ( 16) 其中 · 293 ·

第 3 期廖福成等: 基于状态观测器的线性离散时间系统的最优预见控制 CZ = Im 0 0 0 0 0 Im( MＲ + 1) 0 0 0 0 Iq( Md + 1          )  ．考虑系统 X( k + 1) = ΦXX( k) + GXΔu( k) ， {Z( k) = CZX( k) ． ( 17) 按照状态观测器理论，需要( CZ，ΦX ) 可观测．定理 1 当( C，A) 可观测且 A 可逆时，系统 ( 17) 可观测．证明: 由 PBH 判别法，只要证明对所有的 z，可观测矩阵 U0 = ΦX － zI [ C ] Z 列满秩．对 U0 进行初等变换得到 U0 = ( 1 － z) Im － CA GＲ1 Gd1 0 A － zIn 0 Gd2 0 0 AＲ－ zI 0 0 0 0 Ad － zI Im 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0                       I  → 0 － CA GＲ1 Gd1 0 A － zIn 0 Gd2 0 0 AＲ－ zI 0 0 0 0 Ad － zI Im 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0                       I  → 0 － CA 0 Gd1 0 A － zIn 0 Gd2 0 0 0 0 0 0 0 Ad － zI Im 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0                       I  → 0 － CA 0 0 0 A － zIn 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Im 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0                       I → 0 － zC 0 0 0 A － zIn 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Im 0 0 0 0 0 Im( MＲ + 1) 0 0 0 0 Iq( Md + 1                       )  ． ( 1) 当 z = 0 时， rank( U0 ) = rank 0 0 0 0 0 A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Im 0 0 0 0 0 Im( MＲ + 1) 0 0 0 0 Iq( Md + 1                       )  = m + m( MＲ + 1) + q( Md + 1) + rank( A) ．所以 A 可逆时，U0 列满秩． ( 2) 当 z≠0 时， rank( U0 ) = rank 0 － zC 0 0 0 A － zIn 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Im 0 0 0 0 0 Im( MＲ + 1) 0 0 0 0 Iq( Md + 1                       )  = m + m( MＲ + 1) + q( Md + 1) + rank A － zIn [ ] C ．因此，当( C，A) 可观测时，U0 列满秩．结合( 1) 、( 2) 两步，本定理得证．补充假设: 假设 4 设系统( 1) 可观测，并且矩阵 A 可逆．把系统( 17) 重新分块．令 ΦX = Im － CA A13 0 A A23 0 0 A                    33  ，GX = － CB B          0  ， CZ = Im 0 0 0 0 Im( MＲ + 1) + q( Md + 1       [ ) ] = C( 1) Z 0 C( 3) [   Z ]， XＲd ( k) = XＲ ( k) Xd ( k [ ] ) ．其中 A13 = GＲ1 [ Gd1 ]，A23 = [ 0 Gd2 ]，A33 = AＲ 0 [ 0 A ] d ， · 393 ·

·394 北京科技大学学报第36卷 C= 0m(g+)+(M4+0]×m 4∈Rx(we+》+9w+],则A+M[)]= A- M,CA,因此在设计观测器时，只须进行n阶矩阵的 C9= [0m×m(MR+)+gWa+0] 特征值配置，并不增加特征值配置的难度.M2可以 IMg+)+(M+) 91 根据需要选取于是，系统(17)可以写为这里的观测器与对系统 re (k +1)=e(k)+AX (k)-CAAx(k)- x(k+1)=Ax(k)+Bu(), CBAu(k), Ly(k)=Cx(k) Xm (k +1)=A3Xga(k), 直接设计全维观测器完全不同.事实上，对此系统 △r(k+1)=AaXa(k)+A△r(k)+B△u(k). 直接设计全维观测器需要选择G使得矩阵A+GC 即的特征值在复平面的单位圆内.可见，此处的预 e(k+1)1 「I A13 -CA e(k) 见控制系统观测器是一种全新的观测器 Xra(k+1) 0A3 0 Xga (k) 2.3基于状态观测器的闭环系统 △x(k+1) 0A23 △r(k) 如果系统(1)的状态向量不全能够用于状态反馈，可以按第2.2节的方法设计关于△x(k)的状态 -CB 观测器，用△F(k)代替式(10)中的△x(k),则有： 0 △u(k), B 定理3如果以下条件满足 [A-I B e(k) (1)(A,B)可镇定，且矩阵 e (k) 行满秩， 1「 0:01 0 x(]=0 Xga (k) I:O] (2)(C,A)可观测且A可逆， △r(k) (3)0.>0, (18) 则系统(7)的带有预见前馈补偿的最优输入为因为系统(17)经非退化线性变换可以得到系统(18)，所以(17)和(18)有相同的可观测性.即当 △u(k)=F.e(k)+F,△E(k)+∑FR)△R(k+ (C,A)可观测且A可逆时，系统(18)可观测. 按照控制理论知识和离散时间系统观测器理力+龙F,行u4+. (20) 论-，如果系统(17)完全能观测，则存在降维观 =0 其中F。、F、Fe)(G=1,2,…,Mx)和F)G=0, 测器.因此得到： 1,…,M)由式(11)~(14)确定，△r(k)是系统定理2如果假设4成立，则存在关于△x(k) 的观测器，可以取为 19的输出，其中M使得A+M] CA 的特征值 w&+=(a+。4])w因+ 在复平面的单位圆内证明：(C,A)可观测可以保证(C,A)可检测， 8+0ja0+{D A+ 从而引理2的条件全部满足.(C,A)可观测且A可逆保证了定理2的条件满足.这样，就存在式(10) 6A]-a+m-g48 的最优控制输入和(19)式所示的观测器.另外，根据带有观测器的反馈控制系统的闭环极点设计的分离定理P6-),观测器的极点配置是通过M使A+M 0]的特征值在复平面的单位圆内实现的，而状 -CA] (19) 态反馈是通过最优预见控制器的反馈控制律得到其中M∈R×m+m(+)+gW+]为观测器的增益矩的，所以此闭环系统是渐近稳定的阵，它使得A+。门的特征值在复平面的单位从式(20)解出u(k),即可得到系统(1)的基于状态观测器的最优预见控制输入，作法可以参考文圆内献4,13].具体实现控制律时，可以采用递归的附注：如果令M=M1M2],其中M1∈R"xm, 方法

北京科技大学学报第 36 卷 C( 1) Z = Im [ 0［m( MＲ + 1) + q( Md + 1) ］× ] m = def I [ ] 0 ， C( 3) Z = 0m ×［m( MＲ + 1) + q( Md + 1) ］ Im( MＲ + 1) + q( Md + 1 [ ] ) = def 0 [ ] I ．于是，系统( 17) 可以写为 e( k + 1) = e( k) +A13XＲd ( k) －CAΔx( k) － CBΔu( k) ， XＲd ( k + 1) =A33XＲd ( k) ， Δx( k + 1) =A23XＲd ( k) +AΔx( k) +BΔu( k)      ．即 e( k + 1) XＲd ( k + 1) Δx( k + 1         )  = I A13 － CA 0 A33 0 0 A23               A  e( k) XＲd ( k) Δx( k         )  + － CB 0         B  Δu( k) ， e( k) XＲd [ ( k) ] = I 0 0 0 I  [  ] 0 e( k) XＲd ( k) Δx( k         )                 ． ( 18) 因为系统( 17) 经非退化线性变换可以得到系统( 18) ，所以( 17) 和( 18) 有相同的可观测性．即当 ( C，A) 可观测且 A 可逆时，系统( 18) 可观测．按照控制理论知识和离散时间系统观测器理论［26--27］，如果系统( 17) 完全能观测，则存在降维观测器．因此得到: 定理 2 如果假设 4 成立，则存在关于 Δx( k) 的观测器，可以取为 W( k + 1) = A + M － CA ( [ ] ) 0 W( k) + B + M － CB ( [ ] ) 0 Δu( k) { + ［0 A23］+ M I A13 [ 0 A ] 33 － A + M － CA ( [ ] ) 0 } M e( k) XＲd [ ( k) ] ， Δx^( k) = W( k) － M e( k) XＲd [ ( k) ]              ． ( 19) 其中 M∈Ｒn ×［m + m( MＲ + 1) + q( Md + 1) ］为观测器的增益矩阵，它使得 A + M － CA [ ] 0 的特征值在复平面的单位圆内．附注: 如果令 M =［M1 M2］，其中 M1∈Ｒn × m， M2 ∈Ｒn ×［m( MＲ + 1) + q( Md + 1) ］，则 A + M － CA [ ] 0 = A － M1CA，因此在设计观测器时，只须进行 n 阶矩阵的特征值配置，并不增加特征值配置的难度． M2 可以根据需要选取．这里的观测器与对系统 x( k + 1) = Ax( k) + Bu( k) ， {y( k) = Cx( k) 直接设计全维观测器完全不同．事实上，对此系统直接设计全维观测器需要选择 G 使得矩阵 A + GC 的特征值在复平面的单位圆内［26］．可见，此处的预见控制系统观测器是一种全新的观测器． 2. 3 基于状态观测器的闭环系统如果系统( 1) 的状态向量不全能够用于状态反馈，可以按第 2. 2 节的方法设计关于 Δx( k) 的状态观测器，用 Δx^( k) 代替式( 10) 中的 Δx( k) ，则有: 定理 3 如果以下条件满足 ( 1) ( A，B) 可镇定，且矩阵 A － I B [ C ] 0 行满秩， ( 2) ( C，A) 可观测且 A 可逆， ( 3) Qe ＞ 0，则系统( 7) 的带有预见前馈补偿的最优输入为 Δu( k) = Fee( k) + FxΔx^( k) + ∑ MＲ j = 1 FＲ ( j) ΔＲ( k + j) + ∑ Md j = 0 Fd ( j) Δd( k + j) ． ( 20) 其中 Fe、Fx、FＲ ( j) ( j = 1，2，…，MＲ ) 和 Fd ( j) ( j = 0， 1，…，Md ) 由式( 11) ～ ( 14 ) 确定，Δx^ ( k) 是系统 ( 19) 的输出，其中 M 使得 A + M － CA [ ] 0 的特征值在复平面的单位圆内．证明: ( C，A) 可观测可以保证( C，A) 可检测，从而引理 2 的条件全部满足． ( C，A) 可观测且 A 可逆保证了定理 2 的条件满足．这样，就存在式( 10) 的最优控制输入和( 19) 式所示的观测器．另外，根据带有观测器的反馈控制系统的闭环极点设计的分离定理［26--27］，观测器的极点配置是通过 M 使 A + M － CA [ ] 0 的特征值在复平面的单位圆内实现的，而状态反馈是通过最优预见控制器的反馈控制律得到的，所以此闭环系统是渐近稳定的．从式( 20) 解出 u( k) ，即可得到系统( 1) 的基于状态观测器的最优预见控制输入，作法可以参考文献［4，13］．具体实现控制律时，可以采用递归的方法． · 493 ·

第3期廖福成等：基于状态观测器的线性离散时间系统的最优预见控制 ·395· 定理4如果定理3的条件满足，则系统(1)的 Ke=2.31N·A-,M=1.82kg,D=3.48kgs-1, 基于观测器的最优预见控制输入为取采样周期为T=0.01s,把式(23)和(24)离 u(k)=u(k-1)+F.e(k)+F△(k)+ 散化，得到如下离散时间系统： F.分△Rk+》+立F,aa+. MR r【k+1)刀=[.00.009s651 x(kT)+ 0 10.00.913179 (21) 0.0 0.0 d(kT)' 0.017804 3数值仿真 lu6m+-a549s4 y(kT)=.02.0]x(kT). 以电流输入型直线电机网为例.电流输入型 (25) 直线电机的状态方程为将式(25)与系统(1)对比，知 11r,(01 1.00.0098651 A= 「0.0 ,B= 0.00.913179」 0.017804' k9ma.9mw. 「01 (22) E=-[.0ps4小c=I02o1 在性能指标函数中，取Q。=1000,H=1000.取其中，x,(t)表示位置，x(t)表示速度，u(t)为电流预见步数Me=10,M=5.换句话说，针对系统指令值，d(t)为干扰信号，D为摩擦因数，M为可动 (22),目标值信号的预见长(preview length)是LR= 部分的质量，K:为推力系数. M.T=0.1s,干扰信号的预见长是L4=M,T=0.05 把式(22)表示为向量形式：、日.把观测器极点配置为-0.5±0.5j,其中j为复 ()=Ax(t)+Bu(t)+E'd(t). (23) 数单位. 输出方程为经验证知，定理3的条件全都满足.按照定理3 y(t）=Cx(t）=02]x(t). (24) 和定理4，得到闭环系统以一个实际电机为例，其参数为 k+in-。8g9an+lnom小kn+. 10 5 u(kT)=u(k-1)T)+F.e(kT)+F,△(kT)+∑Fe(分△R(k+)T)+∑F,)△d(k+)T), W((k+1)T)= -29.502064-55.9987261 L15.024801 28.502064J W(k7)+[-1.0861171 L0.552807J an+omelkan+ I30.5020641 L-15.024801J ]△R(k+1)T)+[33.518778]△d(kD）+M,Xa(k+1)TD- 「-29.502064 28502064]4xekn, -55.9987261 L15.024801 An=wun-L e(kT）-MXu(kT）. 其中，F、F、Fe()G=1,2,…,MR)和F)=0, 行仿真. 1,…,M)由式(11)~（15)确定.求得 (1)目标值信号和干扰信号均为阶跃信号. .15.2001 30.5020641 设目标值信号和干扰信号分别为 R0=5,≥05. r0,t<0.5; (26) 取 M,= 0, t<0.6: d(t)= (27) r00.020.003 -0.050.00.08-0.09 l0.6,t≥0.6. 0 0-0.007-0.0010…00-0.07 系统的输出响应如图1(a)所示，未使用状态观测器 11个0 的输出响应如图1(b)所示.可以看出，使用状态观对几种不同的目标值信号和干扰信号的组合进测器的控制效果还是非常理想的.事实上，检查可

第 3 期廖福成等: 基于状态观测器的线性离散时间系统的最优预见控制定理 4 如果定理 3 的条件满足，则系统( 1) 的基于观测器的最优预见控制输入为 u( k) = u( k － 1) + Fee( k) + FxΔx^( k) + ∑ MＲ j = 1 FＲ ( j) ΔＲ( k + j) + ∑ Md j = 0 Fd ( j) Δd( k + j) ． ( 21) 3 数值仿真以电流输入型直线电机［28］为例．电流输入型直线电机的状态方程为 x · p ( t) x · v [ ( t) ] = 0 1 0 － [ ] D /M xp ( t) xv ( t [ ] ) + 0 KF [ ] /M u( t) + 0 － 1 [ ] /M d( t) ． ( 22) 其中，xp ( t) 表示位置，xv ( t) 表示速度，u( t) 为电流指令值，d( t) 为干扰信号，D 为摩擦因数，M 为可动部分的质量，KF 为推力系数．把式( 22) 表示为向量形式: x ·( t) = A'x( t) + B'u( t) + E'd( t) ． ( 23) 输出方程为 y( t) = C'x( t) =［1 2］x( t) ． ( 24) 以一个实际电机为例，其参数为 KF = 2. 31 N·A － 1，M = 1. 82 kg，D = 3. 48 kg·s － 1，取采样周期为 T = 0. 01 s，把式( 23) 和( 24) 离散化，得到如下离散时间系统: x［( k + 1) T］= 1. 0 0. 009865 [ ] 0. 0 0. 913179 x( kT) + 0. 0 [ ] 0. 017804 u( kT) + 0. 0 [ ] － 0. 549541 d( kT) y( kT) =［1. 0 2. 0］x( kT)        ．， ( 25) 将式( 25) 与系统( 1) 对比，知 A = 1. 0 0. 009865 [ ] 0. 0 0. 913179 ，B = 0. 0 [ ] 0. 017804 ， E = 0. 0 [ ] － 0. 549541 ，C = 1. 0 2. 0 [ ]．在性能指标函数中，取 Qe = 1000，H = 1000．取预见步数 MＲ = 10，Md = 5．换句话说，针对系统 ( 22) ，目标值信号的预见长( preview length) 是 LＲ = MＲ T = 0. 1 s，干扰信号的预见长是 Ld = MdT = 0. 05 s ［5］．把观测器极点配置为－ 0. 5 ± 0. 5j，其中 j 为复数单位．经验证知，定理 3 的条件全都满足．按照定理 3 和定理 4，得到闭环系统 x( ( k + 1) T) = 1. 0 0. 009865 [ ] 0 0. 913179 x( kT) + 0 [ ] 0. 017804 u( kT) + 0 －[ ] 0. 549451 d( kT) ， u( kT) = u( ( k － 1) T) + Fee( kT) + FxΔx^( kT) + ∑ 10 j =1 FＲ( j) ΔＲ( ( k + j) T) + ∑ 5 j =0 Fd ( j) Δd( ( k + j) T) ， W( ( k + 1) T) = － 29. 502064 － 55. 998726 [ ] 15. 024801 28. 502064 W( kT) + － 1. 086117 [ ] 0. 552807 Δu( kT) + 89. 006191 －[ ] 45. 074402 e( kT) + 30. 502064 －[ ] 15. 024801 ΔＲ( ( k + 1) T) + 33. 518778 －[ ] 17. 060234 Δd( kT) + M2XＲd ( ( k + 1) T) －－ 29. 502064 － 55. 998726 [ ] 15. 024801 28. 502064 M2XＲd ( kT) ， Δx^( kT) = W( kT) － 30. 502064 －[ ] 15. 024801 e( kT) － M2XＲd ( kT)                  ．其中，Fe、Fx、FＲ ( j) ( j = 1，2，…，MＲ ) 和 Fd ( j) ( j = 0， 1，…，Md ) 由式( 11) ～ ( 15) 确定．求得 M =［M1 M2］2 × 10，M1 = 30. 502064 [ ] － 15. 0248001 ，取 M2 = 0 0. 02 0. 003 － 0. 05 0 … 0 0. 08 － 0. 09 0 0 － 0. 007 － 0. 001 0 …{0 11个0 [ 0 － 0. 07]．对几种不同的目标值信号和干扰信号的组合进行仿真． ( 1) 目标值信号和干扰信号均为阶跃信号．设目标值信号和干扰信号分别为Ｒ( t) = 0， t ＜ 0. 5; {5， t≥0. 5. ( 26) d( t) = 0， t ＜ 0. 6; {0. 6， t≥0. 6． ( 27) 系统的输出响应如图 1( a) 所示，未使用状态观测器的输出响应如图 1( b) 所示．可以看出，使用状态观测器的控制效果还是非常理想的．事实上，检查可 · 593 ·

第3期廖福成等：基于状态观测器的线性离散时间系统的最优预见控制 ·397· 二者控制效果非常接近. (28)所示.图4为使用状态观测器和不使用状态观 (4)目标值信号为周期信号，干扰信号为一般测器时的预见控制输出响应，它们的跟踪误差见图信号. 5.可以看出，使用状态观测器时的跟踪误差只是稍设目标值信号如式(29)所示，干扰信号如式稍大了一点，完全在可接受范围内 (by 2 0 2 —=10.1=5 一M=10.=5) -4 500.510152.02.53.03.5404550 00.51.0152.02.53.0354.04.55.0 图4使用(a)和未使用(b)状态观测器的输出响应 Fig.4 Output response with (a)and without (b)the observer 0.35 0.250 0.30 0.20 0.25 0.15 0.20 0.15 0.10 0.10 0.05 0.05 0 0.05 -0.051 -0.10%051015202s305404550 -0.10605101520253035404550 图5使用(a)和未使用(b)状态观测器的输出误差曲线 Fig.5 Output response error curves with (a)and without (b)the observer feedback controller with integral and preview actions.J Dyn Sys 4结论 Meas Control,1979,101(2):172 4]Katayama T,Ohki T,Inoue T,et al.Design of an optimal con 对预见控制系统设计了观测器.首先推导了包 troller for a discrete-ime system subject to previewable demand. 含可预见的目标值信号和干扰信号的扩大误差系 Int J Control,1985,41(3):677 统，并得到了包含目标值预见和干扰预见作用的最 6] Katayama T,Hirono T.Design of an optimal servomechanism with 优预见控制输入.在设计状态观测器时，充分利用 preview action and its dual problem.Int J Control,1987,45(2): 了目标值信号和干扰信号信息.数值仿真表明本文 407 6] Liao F C,Tsuchiya T,Egami T,et al.Unified approach to opti- 设计的状态观测器是有效的. mal preview servo systems and optimal preview FF compensated 参考文献 systems.Chin J Autom,1998,10(4):329 ]Pipeleers C.Swevers J.Optimal feedforward controller design for Sheridan T B.Three models of preview control.IEEE Trans Hum periodic inputs.Int J Control,2010,83(5):1044 Factors Electron,1966,7(2):91 [8]Kim S H,Yamato H.On the design of a longitudinal motion con- Tsuchiya T,Egami T.Digital Preriew and Predictire Control.Bei- trol system of a fully-submerged hydrofoil craft based on the opti- jing:Beijing Science and Technology Press,1994 mal preview servo system.Ocean Eng,2004,31 (13):1637 (土谷武士，江上正.最新自动控制技术一数字预见控制.北 ]Yim S.Design of a preview controller for vehicle rollover preven- 京：北京科学技术出版社，1994) tion.IEEE Trans Veh Technol,2011,60(9):4217 B]Tomizuka M,Rosenthal D E.On the optimal digital state vector [10]Takaba K.Robust servomechanism with preview action for polyto-

第 3 期廖福成等: 基于状态观测器的线性离散时间系统的最优预见控制二者控制效果非常接近． ( 4) 目标值信号为周期信号，干扰信号为一般信号．设目标值信号如式( 29) 所示，干扰信号如式 ( 28) 所示．图 4 为使用状态观测器和不使用状态观测器时的预见控制输出响应，它们的跟踪误差见图 5．可以看出，使用状态观测器时的跟踪误差只是稍稍大了一点，完全在可接受范围内．图 4 使用( a) 和未使用( b) 状态观测器的输出响应 Fig． 4 Output response with ( a) and without ( b) the observer 图 5 使用( a) 和未使用( b) 状态观测器的输出误差曲线 Fig． 5 Output response error curves with ( a) and without ( b) the observer 4 结论对预见控制系统设计了观测器．首先推导了包含可预见的目标值信号和干扰信号的扩大误差系统，并得到了包含目标值预见和干扰预见作用的最优预见控制输入．在设计状态观测器时，充分利用了目标值信号和干扰信号信息．数值仿真表明本文设计的状态观测器是有效的．参考文献［1］ Sheridan T B． Three models of preview control． IEEE Trans Hum Factors Electron，1966，7( 2) : 91 ［2］ Tsuchiya T，Egami T． Digital Preview and Predictive Control． Beijing: Beijing Science and Technology Press，1994 ( 土谷武士，江上正．最新自动控制技术--数字预见控制．北京: 北京科学技术出版社，1994) ［3］ Tomizuka M，Ｒosenthal D E． On the optimal digital state vector feedback controller with integral and preview actions． J Dyn Sys Meas Control，1979，101( 2) : 172 ［4］ Katayama T，Ohki T，Inoue T，et al． Design of an optimal controller for a discrete-time system subject to previewable demand． Int J Control，1985，41( 3) : 677 ［5］ Katayama T，Hirono T． Design of an optimal servomechanism with preview action and its dual problem． Int J Control，1987，45( 2) : 407 ［6］ Liao F C，Tsuchiya T，Egami T，et al． Unified approach to optimal preview servo systems and optimal preview FF compensated systems． Chin J Autom，1998，10( 4) : 329 ［7］ Pipeleers G，Swevers J． Optimal feedforward controller design for periodic inputs． Int J Control，2010，83( 5) : 1044 ［8］ Kim S H，Yamato H． On the design of a longitudinal motion control system of a fully-submerged hydrofoil craft based on the optimal preview servo system． Ocean Eng，2004，31( 13) : 1637 ［9］ Yim S． Design of a preview controller for vehicle rollover prevention． IEEE Trans Veh Technol，2011，60( 9) : 4217 ［10］ Takaba K．Ｒobust servomechanism with preview action for polyto- · 793 ·

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