10 z05anb 目例题:计算积分 0<a<1比较上节例题:I= (1.1) 番 Mathematica试一试,被积函数的原函数不是初等函数,是超几何函数 x, Assumptions N[a>0&&a<1] (1+x) tt= Integrate x, Assumptions N [a>0&&a<1 Limit[t,x→0, Assumptions沙{a>0sa<1}] Limit[t,x→∞, Assumptions{a>0&a<1} FullSimplify[9] 1. axi- Hypergeometric2F1[1, 1+a, 2+a,-x) ex Hypergeometric2F1 [1, a, 1+a 多值函数,枝点z=0和二=∞,割线如图红线 定义割线上岸6≡arg=0,以保证在L1上f(=)退化为f(x) z=0是枝点,必为奇点,因此要做一个小圆弧C 如取右图闭合回路,则回路内无奇点 有⊥+C+C+⊥+C=0 Li: f()d==L, R CR:因lim=f(2) f(-)d==0 I eila-l)a dx r-l dx L,+L3: ==xelt f(-)d== 不同于:I= 取右图闭合回路,则回路内有奇点=-1=c丌☺ 例题：计算积分 I = 0 ∞ xα-1 x 1 + x , 0 < α < 1 比较 上节例题： I = -∞ ∞ α x x + 1 x (1.1)  Mathematica 试一试，被积函数的原函数不是初等函数 ，是超几何函数 。 t = Integrate xa-1 (1 + x) , x, Assumptions  {a > 0 && a < 1} tt = Integrate a x (1 + x) , x, Assumptions  {a > 0 && a < 1} Limit[t, x  0, Assumptions  {a > 0 && a < 1}] Limit[t, x  ∞, Assumptions  {a > 0 && a < 1}]; FullSimplify[%] xa a - 1 1 + a x1+a Hypergeometric2F1[1, 1 + a, 2 + a, -x] 1 a a x Hypergeometric2F1[1, a, 1 + a, -x] 0 π Csc[a π] 解：f (z) = zα-1 z + 1 , 多值函数 ，枝点 z = 0 和 z = ∞，割线如图红线 定义割线上岸 θ ≡ arg z = 0，以保证在 L1 上 f (z) 退化为 f (x) z = 0 是枝点，必为奇点，因此要做一个小圆弧 Cr 如取右图闭合回路 ，则回路内无奇点 有：L1 +CR +L2 +L3 +Cr ′ +Cr = 0 L1：L1 f (z) z = I, CR：因 lim z∞z f (z) = 0 大圆弧引理 CR f (z) z = 0 L3 x y CR -R R L2 L1 Cr -1 Cr ′ L2 + L3：z = x  π, L2+L3 f (z) z = 0 ∞ xα-1 (α-1) π x x  π + 1 = (α-1) π 0 ∞ xα-1 x 1 - x 不同于：I = 0 ∞ xα-1 x 1 + x , 取右图闭合回路 ，则回路内有奇点 z = -1 =  π 10 z05a.nb