z05anb 1 有:+C+C=2(D=2 L, \ r L2:z=x2(注意不能写成z=x),d=c2dx 对多值函数,z=xcl2x与z=x意义是不同的 ra-l dx Cr:因lim-f(-)=lim 0、小圆弧引理 f(-)d==0 综上 smna丌 目例题:计算积分 √ x Inx dx (涉及多值函数奇点辐角取值范围) x3+1 C1ear["G1。aba1★ f[x_] 4x/2 Hypergeometr 枝点二=0和二=∞,割线如图红线,上岸θ=arg有：L1 +CR +L2 +Cr = 2 π  Res f (-1) = 2 π   (α-1)  L1：L1 f (z) z = I, CR：因 lim z∞z f (z) = 0 大圆弧引理 CR f (z) z = 0 L2：z = x  2 π （注意不能写成 z = x）, z =  2 π x 对多值函数 ，z = x  2 π 与 z = x 意义是不同的 L2 f (z) z = ∞ 0 x  2 π (α-1) x x  2 π + 1 = -  2 (α-1) π 0 ∞ xα-1 x x + 1 = - 2 α π I x y CR -R L1 R L2 Cr Cr：因 lim z0 z f (z) = lim z0 zα 1 + z = 0 小圆弧引理 Cr f (z) z = 0 综上：1 -  2 α π I = 2 π   (α-1) , ⟹ I = π sin α π ☺ 例题：计算积分 I = 0 ∞ x ln x x x3 + 1 , （涉及多值函数奇点辐角取值范围 ） Clear["Gloabal`*"] f[x_] := x Log[x] 1 + x3 ; t = Integrate[f[x], x] Limit[t, x  0] Limit[t, x  ∞] Integrate[f[x], {x, 0, ∞}] 1 9 -4 x3/2 HypergeometricPFQ 1 2 , 1 2 , 1,  3 2 , 3 2 , -x3 + 6 ArcTan[x3/2] Log[x] 0 0 0 解：f (z) = z ln z z3 + 1 , 枝点 z = 0 和 z = ∞，割线如图红线 ，上岸 θ = arg z = 0 z05a.nb 11