《数学分析》下册教案」 第十三章函数列与函数项级数 海南大学数学系 §2一致收敛函数列与函数项级数的性质 教学目标：掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性，可微性. 教学内容：一致收敛函数序列与函数项级数的连续性的判别：可积性的判别，可微性的判别 (1)基本要求：了解一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性和可微性的证明 (②)较高要求：掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性和可微性的证明. 教学建议： (①)要求学生必须掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性，可微性的结论 (②)对较好学生可布置有关函数序列与函数项级数的连续性，可积性和可微性证明的习题， 教学过程： 主要讨论连续性、可积性、可微性。 定理13.2.1设函数列/n(x)}在(a,x)U(x,b)上一致收敛于f(x),且对n, 风)=a,则ma,、mfx)均存在，且相等，即 mm才()=mmf(x)。(即在一致收敛的条件下两种极限可换序) 定理13.9（连续性）若函数列{U,(x)}在区间1上一致收敛于fx),且对n,f(x)在1 上连续，则f(x)在I上也连续。 说明：若各项为连续函数的函数列{(x)}在区间I上其极限函数不连续，则此函数列 (x)}在区间I上不一致收敛。如：在(-1，上。 定理13.10（可积性）若函数列{f(x)}在[a,]上一致收敛，且每一项都连续，则 m.wd=mfxd。 注1：该定理指出：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换顺序： 注2：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件。如下面的： 例1、讨论下列函数的连续性与可积性函数《数学分析》下册教案 第十三章 函数列与函数项级数 海南大学数学系 1 §2 一致收敛函数列与函数项级数的性质 教学目标：掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性，可微性． 教学内容：一致收敛函数序列与函数项级数的连续性的判别；可积性的判别，可微性的判别． (1) 基本要求：了解一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性和可微性的证明． (2) 较高要求：掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性和可微性的证明． 教学建议： (1) 要求学生必须掌握一致收敛函数序列与函数项级数的连续性，可积性，可微性的结论． (2) 对较好学生可布置有关函数序列与函数项级数的连续性，可积性和可微性证明的习题． 教学过程： 主要讨论连续性、可积性、可微性。 定理 13.2.1 设函数列 f n (x) 在 ( , ) ( , ) a x0  x0 b 上一致收敛于 f (x) ，且对 n ， n n x x f x = a → lim ( ) 0 ，则 n n a → lim 、 lim ( ) 0 f x x→x 均存在，且相等，即 lim lim ( ) lim lim ( ) 0 0 f x f x n x x n n n→ x→x → → = 。（即在一致收敛的条件下两种极限可换序） 定理 13.9（连续性） 若函数列 f n (x) 在区间 I 上一致收敛于 f (x) ，且对 n ， f (x) n 在 I 上连续，则 f (x) 在 I 上也连续。 说明：若各项为连续函数的函数列 f n (x) 在区间 I 上其极限函数不连续，则此函数列 f n (x) 在区间 I 上不一致收敛。如：   n x 在 (−1,1] 上。 定理 13.10（可积性） 若函数列 f n (x) 在 [a,b] 上一致收敛，且每一项都连续，则   → → = b a n n n b a n lim f (x)dx lim f (x)dx。 注 1：该定理指出：在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换顺序； 注 2：一致收敛只是这两种运算换序的充分条件，而并非必要条件。如下面的： 例 1、 讨论下列函数的连续性与可积性函数