答:当da的法向量与二轴正向夹角小于90°时,dxdy为正;大于90°时,dxdy为负 习作题 1.你可以翻阅参考书(会查资料本身就是一种能力),也可以独立思考,试将高斯公式 证明出来 证明:先设Ω是xy型域,即G={(x,y-米(x,y)∈D,q(x,y)≤z≤2(x,y)},其中 D是xOy平面上的有界区域,q1,q2在D上存在连续的一阶偏导数,用∑和∑2分别表示 曲面z=q(x,y)和z=2(x,y),(x,y)∈D,用∑3表示!2的侧表面,根据三重积分化 累次积分的公式有 P,(x,)OR dxdvdz= dxd az JJIR(x, J,P2(x,D))R(x,3,9,(x,J)kdrdy 而由对坐标曲面积分的计算方法知 手Rddy=』ad+ady+ady xy(x)由8x()时由-0 JJIR(x, J,92(x,D)-R(x,3,2,(x,y)]drdy 故∫ aR dxdydz=H Rdxdy 若同时还是y=型和工x型域,则同样有 dxdvdz dz ∑ d山= 由此可知 Gauss公式成立 若光滑曲面的边界是光滑或逐段光滑闭曲线.函数及其偏导数在曲面上连续,曲面的 正侧与曲线的正向按右手螺旋法则.你能发挥你的创造能力来证明下面的公式成立吗? 于Pax+gy+Rd=j aP aR )dydz+ )dzdx )dxdy ay 利用这个公式你会求下面的积分吗?答：当 d 的法向量与 z 轴正向夹角小于 90 时， dxdy 为正；大于 90 时， dxdy 为负. 习作题 1. 你可以翻阅参考书（会查资料本身就是一种能力），也可以独立思考，试将高斯公式 证明出来. 证明：先设  是 xy 型域，即 {( , , )( , ) , ( , ) ( , )} 1 2 G = x y z x y D  x y  z  x y ,其中 D 是 xOy 平面上的有界区域， 1 2  , 在 D 上存在连续的一阶偏导数，用 1 和 2 分别表示 曲面 ( , ) 1 z = x y 和 ( , ) 2 z = x y , (x, y)  D ，用 3 表示  的侧表面，根据三重积分化 累次积分的公式有      =      D x y x y z z R x y z x y z R d d d d d d ( , ) ( , ) 2 1 = R x y x y R x y x y x y D [ ( , , 2 ( , )) ( , , 1 ( , ))]d d   −  . 而由对坐标曲面积分的计算方法知         = + + 1 2 3 Rdxdy Rdxdy Rdxdy Rdxdy = ( , , 2 ( , ))d d − ( , , 1 ( , ))d d − 0   R x y x y x y R x y x y x y D D    = − D [R(x, y, (x, y)) R(x, y, (x, y))]dxdy  2 1 故     x y z z R d d d =   Rdxdy , 若同时还是 yz 型和 zx 型域，则同样有     x y z x P d d d =   Pdydz     x y z y Q d d d =   Qdzdx 由此可知 Gauss 公式成立. 2．若光滑曲面的边界是光滑或逐段光滑闭曲线.函数及其偏导数在曲面上连续，曲面的 正侧与曲线的正向按右手螺旋法则.你能发挥你的创造能力来证明下面的公式成立吗？ + + =  P x Q y R z C d d d     −   +   −   +   −   x y y P x Q z x x R z P y z z Q y R ( )d d ( )d d ( )d d , 利用这个公式你会求下面的积分吗？ D x y z O 1 2 3