1.利用格林公式计算,xydy-x2ydx,其中L是圆周x2+y2=a2(按逆时针方向) 解:L所围区域D:x2+y2≤ai 由格林公式,可得 d(xy)dx y xy dy-x yd 2.利用曲线积分与路径无关的条件,计算 f, +xe2)dx+(x2e2y-y2)dy, 其中L是圆周x2+y2=R2从AR,0)到点B(-R,0)的上半部分 解:此题中P=1+xe2y,Q=x2e2-y2 =2xe2=在xOy面内处处成立, y 5(+xe)x+(x2e-y2)dy与路径无关 取A到B的直线段为积分路径,则 f, (+ xe2>)dx+(x2'e2y-y2)dy (+xe )dx =-2R 第六节对坐标的曲面积分及其应用 思考题: 1.双侧曲面有正向有负向,方向不同的同一块曲面投影到坐标面上的面积带有不同的 符号,所以在对坐标的曲面积分中,就要考虑曲面的侧既然考虑双侧曲面,说明存在单侧 曲面,你可以将长方形的纸条的一端扭转180°,再与另一端粘起来,你一定能说明你所做 的曲面是单侧曲面,这就是著名的默比乌斯带 答:因为此时从纸条上任一点出发,沿纸条上任一条不越过纸条边界的曲线连续移动 能到达另一点 2.曲面微元da在xO坐标面上投影的面积微元是dxdy,它在什么情况下为正的? 在什么情况下为负的?1. 利用格林公式计算  − L xy dy x ydx 2 2 ，其中 L 是圆周 2 2 2 x + y = a （按逆时针方向）. 解： L 所围区域 D ： 2 2 2 x + y  a 由格林公式，可得  − L xy dy x ydx 2 2 = x y y x y x xy D )d d ( ) ( ) ( 2 2    − −   =  + D (x y )dxdy 2 2 = 4 2π 0 0 2 2 π d r rdr a a     = . 2. 利用曲线积分与路径无关的条件，计算 x x x y y y L y (1 e )d ( e )d 2 2 2 2 + + −  , 其中 L 是圆周 2 2 2 x + y = R 从 A(R, 0) 到点 B(−R, 0) 的上半部分. 解：此题中 2 2 2 2 P 1 xe ,Q x e y y y = + = − , y P x x Q y   = =   2  2 e 在 xOy 面内处处成立,  x x x y y y L y (1 e )d ( e )d 2 2 2 2 + + −  与路径无关， 取 A 到 B 的直线段为积分路径，则 x x x y y y L y (1 e )d ( e )d 2 2 2 2 + + −  =  − + = − R R (1 xe )dx 2R 0 . 第六节 对坐标的曲面积分及其应用 思考题： 1. 双侧曲面有正向有负向，方向不同的同一块曲面投影到坐标面上的面积带有不同的 符号，所以在对坐标的曲面积分中，就要考虑曲面的侧.既然考虑双侧曲面，说明存在单侧 曲面，你可以将长方形的纸条的一端扭转 180 ，再与另一端粘起来，你一定能说明你所做 的曲面是单侧曲面，这就是著名的默比乌斯带. 答：因为此时从纸条上任一点出发，沿纸条上任一条不越过纸条边界的曲线连续移动 能到达另一点. 2. 曲面微元 d 在 xOy 坐标面上投影的面积微元是 dxdy ，它在什么情况下为正的？ 在什么情况下为负的？