40.(20分)试用正交线性替换化二次型 f(x1,x2,x3)=2n1+5n2+5n3+4x1x2-4x1x3-8x2x3 为标准型,并写出所用的正交线性替换和所得的标准型.(2013年南京大学) 41.试用正交线性替换化二次型 f(x1,x2,x3)=x-2n2-22-4x1x2+4x1x3+8r2x3 为标准型,并写出所用的正交线性替换和所得的标准型.(2015年南京大学) 42.(30分)求实二次型f(x)=∑ 的矩阵及正负惯性指数.(2009年南京师范大学) 43.用正交线性替换化下列二次型为标准形: (2011年南京师范大学 44.(20分)求二次型f(x1,x2,x3)=51+x2+6x3+4x1x2-10x1x3-6x2x3的矩阵并判别该二次型是 否正定.(2012年南京师范大学) 45.(20分)已知s×n实矩阵A=(a)的秩为r,求如下二次型的正惯性指数 f(x1,x2,…,xn)=∑(ax1+a2n2+ (2016年南京师范大学) 46.试决定当实数a1,a2…,an满足什么条件时,n元实二次型 ∫(x xn)=(x1+a2x2+(x2+a3x3)2+…+(xn-1+anxn)2+(xn+a1x1)2 是正定的.(200年南开大学 7.设 A=|7107 7710 求A的特征值与特征向量,并求正定矩阵B使得B2-I=A.(2010年上海大学) 48.(1).求出下述行列式所表示的一元多项式f(x)的最高次幂项40. (20 ©) £^Ç5OÜzg. f (x1, x2, x3) = 2x 2 1 + 5x 2 2 + 5x 2 3 + 4x1x2 − 4x1x3 − 8x2x3 èIO., ø—§^Ç5OÜ⁄§IO.. (2013 cHÆåÆ) 41. £^Ç5OÜzg. f (x1, x2, x3) = x 2 1 − 2x 2 2 − 2x 2 3 − 4x1x2 + 4x1x3 + 8x2x3 èIO., ø—§^Ç5OÜ⁄§IO.. (2015 cHÆåÆ) 42. (30 ©) ¶¢g.f(x) = Pn i=1 xi − Pn j=1 xj n !2 › 9K.5çÍ. (2009 cHÆìâåÆ) 43. ^Ç5OÜzeg.èIO/: x 2 1 − 2x 2 2 − 2x 2 3 − 4x1x2 + 4x1x3 + 8x2x3. (2011cHÆìâåÆ) 44. (20 ©) ¶g.f (x1, x2, x3) = 5x 2 1 + x 2 2 + 6x 2 3 + 4x1x2 − 10x1x3 − 6x2x3 › øOTg.¥ ƒ½. (2012 cHÆìâåÆ) 45. (20 ©) Æs × n ¢› A = (aij ) ùèr, ¶Xeg..5çÍ. f (x1, x2, · · · , xn) = Xs i=1 (ai1x1 + ai2x2 + · · · + ain1xn) 2 . (2016cHÆìâåÆ) 46. £˚½¢Í a1, a2, · · · , an ˜vüo^áû, n ¢g. f (x1, x2, · · · , xn) = (x1 + a2x2) 2 + (x2 + a3x3) 2 + · · · + (xn−1 + anxn) 2 + (xn + a1x1) 2 ¥½. (2009cHmåÆ) 47.  A =     10 7 7 7 10 7 7 7 10     ¶ A AäÜAï˛, ø¶½› B ¶ B2 − I = A . (2010c˛°åÆ) 48. (1). ¶—e„1™§L´òıë™ f(x) Åpgòë: f(x) =   a1 a2 a3 a4 · · · an an a1 a2 a3 · · · an−1 an−1 x a1 a2 · · · an−2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . a3 x · · · x a1 a2 a2 x · · · x x a1   11 厦门大学《高等代数》