经正交变换X=PY化标准型f=3+3+b,其中X=(x1,x2,x3)是3维列向量,P是3阶正交 矩阵, (1)求常数a,b的值 (2)求正交矩阵P.(2019年华南理工大学) 已知f(x1,x2,x3)=2ar2+2ar2+2ar3-2x1x2-2x1x3+2x2x3 (1)求存在矩阵Q使得X=QY的标准型; (2)求a为何值时,f(x1,x2,x3)的二次型矩阵的秩为2.(2020年同济大学) 33.求正交变换化 +y2 为标准方程,并指出曲面类型 4.设有三元实二次型 +z-+4 并设x,y,z满足x2+y2+z2=1.试求∫的最大值和最小值,并求当x,y,z取什么值时,f分别达 到最大值和最小值.(2010年华中师范大学) 35.设实二次型 f(x1,x2,x3)=x+22+x2+2ax1x2+4x1x3+2bx2x3,a>0 通过正交变换化为标准形--n2+53,求参数a,b及所用的正交变换.(2014年兰州大学) 36.设实二次型 f(x1,x2,x3)=x+2+n3+2ax1x2+4x1x3+4x2x3 通过正交变换化为标准形52-v2-3,求参数a及所用的正交变换.(2010年南京大学) 37.试求二次型 xn)=a∑x2+2b∑x 正定的充要条件.(2017年兰州大学) 38.已知实二次型f(x1,x2,x3)=t(x+n2+x3)+2x1x2+2x1x3-2x2x3 t为何值时,f正定? 2.取t=1,用可逆线性变换化二次型为标准型,并写出相应的线性变换.(2019年兰州大学 39.(15分)已知二次型f(x1,x2,x3)=2x2+3n2+33+2x2x3(其中>0)可以通过正交变换化为标 准形n2+2v2+5y3.求t和所用的正交变换.(2010年南京大学)²CÜX = P Y zIO.f = 3y 2 1 + 3y 2 2 + by2 3 , Ÿ•X = (x1, x2, x3) 0 ¥3ëï˛, P¥3 › , (1)¶~Ía, bä; (2)¶› P. (2019cuHnÛåÆ) 32. Æf(x1, x2, x3) = 2ax2 1 + 2ax2 2 + 2ax2 3 − 2x1x2 − 2x1x3 + 2x2x3 (1)¶3› Q¶X = QY IO.; (2)¶aè¤äû, f(x1, x2, x3)g.› ùè2. (2020 c”LåÆ) 33. ¶CÜz xy + yz + zx = 1 èIOêß, øç—­°a.. 34. kn¢g. f(x, y, z) = x 2 + 3y 2 + z 2 + 4xz ø x, y, z ˜v x 2 + y 2 + z 2 = 1. £¶ f Ååä⁄Åä, ø¶ x, y, z üoäû, f ©Oà Ååä⁄Åä. (2010cu•ìâåÆ) 35. ¢g. f (x1, x2, x3) = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + 2ax1x2 + 4x1x3 + 2bx2x3, a > 0 œLCÜzèIO/ −y 2 1 − y 2 2 + 5y 2 3 , ¶ÎÍ a, b 9§^CÜ. (2014c=²åÆ) 36. ¢g. f (x1, x2, x3) = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + 2ax1x2 + 4x1x3 + 4x2x3 œLCÜzèIO/ 5y 2 1 − y 2 2 − y 2 3 , ¶ÎÍ a 9§^CÜ. (2010cHÆåÆ) 37. £¶g. f (x1, · · · , xn) = a Xn i=1 x 2 i + 2b Xn i<j xixj ½øá^á. (2017c=²åÆ) 38. Æ¢g. f (x1, x2, x3) = t ￾ x 2 1 + x 2 2 + x 2 3
+ 2x1x2 + 2x1x3 − 2x2x3 . 1. t è¤äûßf ½? 2.  t = 1, ^å_Ç5CÜzg.èIO.ßø—ÉAÇ5CÜ. (2019c=²åÆ) 39. (15 ©) Æg.f (x1, x2, x3) = 2x 2 1 + 3x 2 2 + 3x 2 3 + 2tx2x3( Ÿ•t > 0) 屜LCÜzèI O/ y 2 1 + 2y 2 2 + 5y 2 3 . ¶ t ⁄§^CÜ. (2010cHÆåÆ) 10 厦门大学《高等代数》