教学内容 函数极值的定义 y 定义: 设函数f(x)在区间(ab内有定义,x是(a,b内的一个点 如果存在着点x的一个邻域对于这邻域内的任何点x除了点x0外 f(x)<f(x0)均成立,就称f(x)是函数f(x)的一个极大值 如果存在着点x的一个邻域,对于这邻域内的任何点x除了点x外 f(x)>f(x0)均成立就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值 函数的极大值与极小值统称为极值使函数取得极值的点称为极值点 、函数极值的求法 定理1(必要条件):设f(x)在点x处具有导数,且在x处取得极值那末必定 f(x0)=0 定义 使导数为零的点(即方程∫(x)=0的实根叫做函数 f(x)的驻点 注意 可导函数∫(x)的极值点必定是它的驻点,但函数的驻点却 不一定是极值点 例如,y=x3,y1l-0=0,但x=0不是极值点 定理2(第一充分条件) (1)如果x∈(x0-δ,x0)有∫(x)>0,而x∈(x0,x+)有∫(x)<0,则f(x)在2 教 学 内 容 一、函数极值的定义 定义： ( ) ( ) , ( ) ( ) . , , , ( ) ( ) , ( ) ( ) ; , , , ( ) ( , ) , ( , ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 均成立 就称 是函数 的一个极小值 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的任何点 除了点 外 均成立 就称 是函数 的一个极大值 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的任何点 除了点 外 设函数 在区间 内有定义 是 内的一个点 f x f x f x f x x x x f x f x f x f x x x x f x a b x a b   函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 二、函数极值的求法 定理 1(必要条件)：设 f (x) 在点 0 x 处具有导数,且在 0 x 处取得极值,那末必定 ( 0 ) 0 ' f x = 定义： ( ) . ( ( ) 0 ) 的驻点 使导数为零的点 即方程 的实根 叫做函数 f x f  x = 注意: . ( ) , 不一定是极值点 可导函数 f x 的极值点必定是它的驻点 但函数的驻点却 例如, , 3 y = x 0, y  x=0 = 但x = 0不是极值点. 定理 2(第一充分条件) (1)如果 ( , ), 0 0 x  x − x 有 ( ) 0; ' f x  而 ( , ) x x0 x0 + ,有 ( ) 0 ' f x  ，则 f (x) 在 o x y a b y = f (x) 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x o x y 0 x o x y 0 x