本科课程考试参考答案与评分标准 200/200学年第学期 课程名称:高等代数(2) 考试性质:考试试卷类型 考试班级 考试方法:闭卷命题教师: (10分)设V是由全体定义域为实数的实函数构成的集合,已知V在通常加 法和数乘的意义下是一个线性空间。试证明V中的函数组sinx,cosr,e,e线性无关。 解:设有系数k1,k2,k3,k,使, k,sinx k, cosx+ kaet+ kex=0 (3分) 分别令x=0,x=I,x=2π得 k2+k3+k4=0 a=-k2+kae k (4分) k2+k el k 解方程组得k2=k3=k4=0,进一步得k=0,所以sinx,cosx,e,e线性无关。(3分) (12分)在F中,求由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵,并且求 n=a1+a2+a3在基(Ⅱ)下的坐标 显然β1=(a1,a2,a3) a 1 a B3=( 3) 所以过渡矩阵为 (6分) 4/5-12/5 因为C12/51-15 所以n在(Ⅱ)下的坐标为 第1页共5页第 1 页 共 5 页 本科课程考试参考答案与评分标准 200/200 学年第 学期 课程名称：高等代数(2) 考试性质：考试 试卷类型： 考试班级： 考试方法：闭卷 命题教师： 一、（10 分）设 V 是由全体定义域为实数的实函数构成的集合，已知 V 在通常加 法和数乘的意义下是一个线性空间。试证明 V 中的函数组 sinx,cosx,e x ,e -x线性无关。 解：设有系数 k1，k2 ，k3 ，k4 ，使， k1sinx+ k2 cosx+ k3e x+ k4e -x=0 (3 分) 分别令 x=0,x=π,x=2π得 α1= k2+k3+k4=0 - k2+k3eπ + k4e -π=0 k2+k3e 2π + k4e -2π=0 (4 分) 解方程组得 k2 =k3 =k4 =0，进一步得 k1=0，所以 sinx,cosx,e x ,e -x线性无关。(3 分) 二、（12 分）在 F 3中，求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵，并且求 η=α1+α2+α3在基（Ⅱ）下的坐标． （Ⅰ）：α1= 0 1 0 α2= 1 0 0 α3= 0 0 1 （Ⅱ）：β1= 1 -1 3 β2= 2 -1 3 β3= 0 2 4 解 ： 显 然 β1=（α1 ,α2,α3） -1 1 3 ， β2=（α1 ,α2,α3） -1 2 3 ， β3=（α1 ,α2,α3） 2 0 4 所以过渡矩阵为 C= -1 -1 2 1 2 0 3 3 4 (6 分) 因为 C-1= -4/5 -1 2/5 2/5 1 -1/5 3/10 0 1/10 所以 η在（Ⅱ）下的坐标为