r=√2g(-y),d=+[r(x gly T不能是x的函数,因为它是上下限确定的对x的定积分。T也不能是y的函数,因为如 果T是y的“函数”,而y是x的函数,那么T就是x的复合函数,这显然也不对。上式 应记为T=T]=T[f(x)]=[/门,不代表x与T之间的对应关系,而是函数关系∫ (即x与y的对应关系)与T之间的对应关系。也就是无限多个函数值f(x)与T之间的 对应关系,即无限多个自变量f(x)的多元函数7,我们称T为y的泛函。把f(x)的宗量 x记成别的字母,例如u,也不会改变T的值,在不会引起混淆时也可以略去不记,即 T=T[(x)]=T[(a)]=T[/门。上式中另外几个量:x,x,y对这个泛函的定义 是不可缺少的,也是不可随意改用别的字母来记。最速落径问题就是要求出使泛函T取极 小值的函数fx)也就是函数几(x)的无限多个值] ③费马原理( Fermat Principle) 在介质内(一般可以不均匀),光从一点到另一点是沿光程取极值(极大、极小或者常数) 的路径传播的。(极端光程原理)或者说,是取所需时间为极值的路径传播的。(时间极值 原理)光程是传播路程l与折射率n的乘积nl,非均匀介质中为|ndl是路径函数的泛 (A) 函。传播时间是dt 与光程nd成正比。均匀介质内光的直线传播定律 光的反射定律、光的折射定律都是费马原理的实例。 3.有关泛函的初步知识: (1)我们把泛函Fq)与有限个自变量的多元函数f(x1…xn)作一对比。(为简 单起见,限于实数范围内) F[q() fx1…xn) 自变量∞个实数值q,∞维空间H(函数空n个实数x,n维空间R的点 间)的点 t0≤t≤l1,t连续, k=1,2,…n,k分立,有限个 因变量 F[q(1)]∈R(实数) f(x…xn)∈R(实数) 映射 H R "R 极值(逗留 当q(n)=q(1),Fq(=F极值 x 值) fx…xn)极值 极值条件 F=0 d=0 例线性泛函F)=c(m 线性函数 f(x1x2…xn)=∑C4x 22 v = g(y − y) 2 1 ， ds f (x) dx 2 = 1+  ( )  − +  = 2 1 1 2 2 x 1 x dx g y y y T T 不能是 x 的函数，因为它是上下限确定的对 x 的定积分。T 也不能是 y 的函数，因为如 果 T 是 y 的“函数”，而 y 是 x 的函数，那么 T 就是 x 的复合函数，这显然也不对。上式 应记为 T T y T f x T f = = =     ( )     ，不代表 x 与 T 之间的对应关系，而是函数关系 f （即 x 与 y 的对应关系）与 T 之间的对应关系。也就是无限多个函数值 f x( ) 与 T 之间的 对应关系，即无限多个自变量 f x( ) 的多元函数 T ,我们称 T 为 y 的泛函。把 f x( ) 的宗量 x 记成别的字母，例如 u，也不会改变 T 的值，在不会引起混淆时也可以略去不记，即 T T f x = =   ( )   T f u T f   ( ) =     。上式中另外几个量：x1，x2，y1 对这个泛函的定义 是不可缺少的，也是不可随意改用别的字母来记。最速落径问题就是要求出使泛函 T 取极 小值的函数 f(x)[也就是函数 f(x)的无限多个值]。 ○3 费马原理（Fermat Principle） 在介质内（一般可以不均匀），光从一点到另一点是沿光程取极值（极大、极小或者常数） 的路径传播的。（极端光程原理）或者说，是取所需时间为极值的路径传播的。（时间极值 原理）光程是传播路程 l 与折射率 n 的乘积 nl ，非均匀介质中为  ( ) ( ) B A ndl 是路径函数的泛 函。传播时间是 / dl dl ndl dt v c n c = = = 与光程 ndl 成正比。均匀介质内光的直线传播定律、 光的反射定律、光的折射定律都是费马原理的实例。 3． 有关泛函的初步知识： （1） 我们把泛函 F[q(t)]与有限个自变量的多元函数 f(x1…xn)作一对比。（为简 单起见，限于实数范围内） F[q(t)] f(x1…xn) 自变量 ∞个实数值 q(t)，∞维空间 H（函数空 间）的点 0 1 t t t t   , 连续，  个 n 个实数 xk，n 维空间 R n 的点 k n = 1, 2, , k 分立，有限个 因变量 F[q(t)]∈R（实数） f(x1…xn)  R （实数） 映射 H R ⎯⎯F→ R R n ⎯⎯f → 极值（逗留 值） 当 q(t)=qe(t)，F[q(t)]=Fe极值 当(x1, x2, …, xn)=(x1e, x2e, …, xne)， f(x1…xn)=fe极值 极值条件 δF＝0 df＝0 例 线性泛函  ( ) ( ) ( )  = 1 0 t t F q t C t q t dt 线性函数 ( ) = = n k n k k f x x x C x 1 1 2 , 