第五章哈密顿原理 5.1.变分问题的欧拉方程: 力学第一性原理(力学最高原理):可由它导出全部力学定律的原理或者假设。(好 比几何学中的公理) 什么原理可以作为力学第一性原理? ·牛顿运动定律 ·达朗伯原理F+FN-m万=0(=12…n) 动力学虚位移原理(是一种微分变分原理,或称动力学虚位移原理或称动力学普 遍方程,在本教材又称达朗贝尔方程:在静力学情况下是虚位移原理,或称虚功 原理。) Lagrange方程 正则方程 以上原理中的任何一者都可以,因为它们是相互等价的。 在本章介绍另外一类力学第一性原理——力学的积分变分原理 2.物理学中的变分原理举例 ①求单摆的平衡位置: 平衡位置应满足平衡方程 Tcos0=0 ITsin 0=0 求得平衡位置:O=0(T=n ⅱi利用虚位移原理 mg x= I cose→- mglsin 660=0 mglsin a=0 6=0 ii利用势能=-mgx=- mgl cos最小这个条件,o= mgl sin 650=0 或者 00 mgl sin=0得到O=0 方法i是找出满足平衡条件的态(着眼于一个单独的态):方法ⅲ是将真实平衡位置与无 限接近它的邻近位置比较,平衡位置将使动力学函数(势能)达到极值(逗留值)S=0 方法ⅱ也相似,但虚位移原理∑F=0不要求左边成为恰当变分,适用范围更广些 方法ⅱ和ⅲ均系利用变分原理(微分变分原理)求解 最速落径问题( The brachistochrone problem) 从静止出发,在重力作用下,沿光滑轨道由A(x1, (XuYu) y1)滑到B(x2,0),问沿怎样的轨道y=f(x)所 用x-"m=最短 O(x,.0) B(x2,0)1 第五章 哈密顿原理 5．1．变分问题的欧拉方程： 1．力学第一性原理（力学最高原理）：可由它导出全部力学定律的原理或者假设。（好 比几何学中的公理） 什么原理可以作为力学第一性原理? • 牛顿运动定律 ⚫ 达朗伯原理 0 F F m r i Ni i i + − = (i n =1,2, , ) ⚫ 动力学虚位移原理（是一种微分变分原理，或称动力学虚位移原理或称动力学普 遍方程，在本教材又称达朗贝尔方程；在静力学情况下是虚位移原理，或称虚功 原理。） ⚫ Lagrange 方程 ⚫ 正则方程 以上原理中的任何一者都可以，因为它们是相互等价的。 在本章介绍另外一类力学第一性原理——力学的积分变分原理。 2．物理学中的变分原理举例 ○1 求单摆的平衡位置： i 平衡位置应满足平衡方程    = − = sin 0 cos 0   T mg T 求得平衡位置：  = 0 (T mg = ) ii 利用虚位移原理 0 sin 0 cos sin 0 0 = − = =  − = =      mgl x l mgl mg x ⅲ 利用势能 V = −mgx = −mgl cos 最小这个条件， V = mglsin  = 0 或者 = sin = 0     mgl V 得到  = 0。 方法ⅰ是找出满足平衡条件的态（着眼于一个单独的态）；方法ⅲ是将真实平衡位置与无 限接近它的邻近位置比较，平衡位置将使动力学函数（势能）达到极值（逗留值） V = 0 ； 方法ⅱ也相似，但虚位移原理   = 0 i i i F r    不要求左边成为恰当变分，适用范围更广些。 方法ⅱ和ⅲ均系利用变分原理（微分变分原理）求解。 ○2 最速落径问题（The brachistochrone problem） 从静止出发，在重力作用下，沿光滑轨道由 A（x1， y1）滑到 B（x2，0），问沿怎样的轨道 y＝f(x)所 用时间   = = ( ) ( ) ( ) ( ) B A B A v ds T dt 最短。 mg T θ x y O x B(x2, 0) A(x1, y1) y O (x1, 0)