第十八章分离变量法总结 第1页 第十八章分离变量法总结 到现在为止,我们已经处理了几种典型的偏微分方程定解问题,介绍了求解这些定解问 题的一种有效方法,分离变量法.这种方法,当然有一定的适用条件,例如,要求方程和定解 条件都是线性的,因此定解问题的解具有叠加性.在第十四章中,我们曾经结合具体的求解过 程,分析了这种解法对于定解问题的要求.特别是,曾经指出(见14.1节)这种方法是否能够普 遍地应用于求解偏微分方程定解问题,在理论上,取决于下列几个问题 1.本征值问题是否一定有解,换句话说,在什么条件下,本征值问题一定有解; 2.定解问题的解是否一定可以按照某一组本征函数展开,换句话说,在什么条件下, 本征函数是完备的; 3.本征函数是否一定具有正交性 在这一章中,我们就要从理论上回答这几个问题,从而为分离变量法奠定一个坚实的理论基 础.当然,严格说来,这里介绍的也只是充分条件.在一般物理问题中,这些条件是能够满足 的1›lÙ ©lCþ{o( 1 1  1›lÙ ©lCþ{o( y3Ž§·‚®²?n A«;. ‡©§½)¯K§0 ¦)ù ½)¯ K«k{§©lCþ{©ù«{§,k½·^^‡§~X§‡¦§Ú½) ^‡Ñ´‚5§Ïd½)¯K)äkU\5©31›oÙ¥§·‚Q²(ÜäN¦)L §§©Û ù«){éu½)¯K‡¦©AO´§Q²Ñ(„14.1!)ù«{´ÄU Ê H/A^u¦) ‡©§½)¯K§3nØþ§ûueA‡¯Kµ 1. Š¯K´Ä½k)§†é{`§3Ÿo^‡e§Š¯K½k)¶ 2. ½)¯K)´Ä½Œ±Uì,|¼êÐm§†é{`§3Ÿo^‡e§ ¼ê´¶ 3. ¼ê´Ä½äk5© 3ùÙ¥§·‚Ò‡lnØþ£‰ùA‡¯K§l ©lCþ{C½‡j¢nØÄ :©,§î‚`5§ùp0´¿©^‡©3„Ôn¯K¥§ù ^‡´U ÷v ©