§181内积空 第2页 18.1内积空间 设在数域K上定义了n维矢量空间V,它的元素(矢量)用a,y,…表示,我们可以把三维 矢量空间中矢量的长度的概念推广到n维矢量空间.为此,先定义η维矢量的内积 对于实n维矢量空间(即K为实数域),在选定了一组基{ea,i=1,2,…,n}之后,空间中 的任意一个矢量m都可以用它在这一组基上的投影(坐标)x1,x2,…,xn表示 =1e1+x2e2+…+nen 对于空间中的矢量m和y,最常见的内积定义为 (x,y)=x1+x22+…+xnn=∑x孙 这是一个实数.显然有 (ay)=(叫和[(叫)≥0 并且,当且仅当=0时,才有(x,m)=0.在此基础上,就可以定义矢量c的长度|l‖l ,a)1/2 对于复n维矢量空间,如果仍保留上述内积定义,容易看出,这时的矢量长度就可能不是 实数.为了保持矢量长度仍是实数,不妨在保持长度定义的前提下,把内积定义修改为 (a, y)=Ti+a232+.+anyn i=1 其中r是x的复共轭.显然,在复矢量空间中 (ac 这样的内积概念显然是三维矢量的标积的简单推广.但还不够普遍和抽象,特别是矢量的 内积明显依赖于基的选取.我们当然需要从内积的各种可能定义中抽象出它的最本质的要素 从而给出一个公理化的内积定义(以后就称为内积公理) 定义1(定义在实数或复数域K上的)矢量空间中矢量a和y的内积(a,y)是它们的标量 值函数,满足 1 2.(aa+Bv,z)=a’(m,z)+β"(3,z),其中α和β是数域K上的标量; 3.对于任何,(a,a)≥0;当且仅当=0时,(a,a)=0. 例1若§18.1 SÈm 1 2  §18.1 SÈm 3êKþ½Â n‘¥þmV §§ƒ (¥þ)^x, y, · · · L«©·‚Œ±rn‘ ¥þm¥¥þÝVgí2n‘¥þm©d§k½Ân‘¥þSÈ© éu¢n‘¥þm(=K¢ê)§3À½ |Ä{ei, i = 1, 2, · · · , n}ƒ￾§m¥ ?¿‡¥þx ь±^§3ù|ÄþÝK(‹I) x1, x2, · · · , xnL«§ x = x1e1 + x2e2 + · · · + xnen = Xn i=1 xiei. éum¥¥þxÚy§~„SȽ (x, y) = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn = Xn i=1 xiyi. ù´‡¢ê©w,k (x, y) = (y, x) Ú (x, x) ≥ 0, ¿…§…=x = 0ž§âk(x, x) = 0©3dÄ:þ§ÒŒ±½Â¥þxÝkxk kxk = (x, x) 1/2 . éuEn‘¥þm§XJE3þãSȽ§N´wѧùž¥þÝҌUØ´ ¢ê© ±¥þÝE´¢ê§Ø3±ݽÂcJe§rSȽÂ?U (x, y) = x ∗ 1y1 + x ∗ 2y2 + · · · + x ∗ nyn = Xn i=1 x ∗ i yi, Ù¥x ∗ i ´xiE
Ý©w,§3E¥þm¥§ (x, y) = (y, x) ∗ . ùSÈVgw,´n‘¥þIÈ{üí2©„Ø ÊHÚħAO´¥þ SȲw6uÄÀ©·‚,I‡lSȈ«ŒU½Â¥ÄѧŸ‡ƒ© l ‰Ñ‡únzSȽÂ(±￾Ò¡SÈún)© ½Â1 (½Â3¢ê½EêKþ)¥þm¥¥þx ÚySÈ(x, y)´§‚Iþ Š¼ê§÷vµ 1. (x, y) = (y, x) ∗¶ 2. (αx + βy, z) = α ∗ (x, z) + β ∗ (y, z)§Ù¥αÚβ ´êKþIþ¶ 3. éu?Ûx§(x, x) ≥ 0¶…=x = 0ž§(x, x) = 0© ~1 e x =   x1 x2 . . . xn   Ú y =   y1 y2 . . . yn  