§181内积空 第3页 是实数域上的列矢量,P为(给定的)对角矩阵,对角元Pa均为正实数,则可定义矢量c和y的 内积为 P110 T1,2 例2实变量t的所有复系数的多项式的集合,在多项式加法以及多项式和复数的乘法下 构成一个复矢量空间.不妨假设0≤t≤1.若x(t)和y(t)是此矢量空间中的两个矢量(即多项 式),则它们的内积可以定义为 (a, y)=/ r(t)y(t)p(c)dt 其中已知函数p(x)≥0且≠0 它的特殊情形是p(x)≡1 (a, y)=/a'(t)y(t)dt. 根据内积公理中的第1条要求,可以看出,不论是实的或复的矢量空间,一个矢 量和它自身的内积总是实数,这样第3条要求中的不等式才有意义 在此基础上,就把 称为矢量c的模(即矢量m的“长度” 从上面内积公理中的第1和第2条要求,可得 a, ay 因此 laz=(aa, az) /2=[aa"(a, x1/=lallarll 任何一个非零矢量除以它的模就成为“单位长度”的矢量,或称为归一化的矢量 (m=)=1 ★定义了内积的矢量空间称为内积空间 ★具有内积的实矢量空间称为欧几里德空间( Euclidean space) ★具有内积的复矢量空间称为酉空间( unitary space) 在建立了内积定义后,就可以引入矢量正交的概念§18.1 SÈm 1 3  ´¢êþ¥þ§P (‰½)éÝ §éPii þ¢ê§KŒ½Â¥þxÚy Sȏ (x, y) = ³ x1, x2, · · · , xn ´   P11 0 · · · 0 0 P22 · · · 0 . . . . . . 0 0 · · · Pnn     y1 y2 . . . yn   . ~2 ¢Cþt¤kEXêõ‘ª8ܧ3õ‘ª\{±9õ‘ªÚEê¦{e ¤‡E¥þm©Øb0 ≤ t ≤ 1©ex(t)Úy(t)´d¥þm¥ü‡¥þ(=õ‘ ª)§K§‚SȌ±½Â (x, y) = Z 1 0 x ∗ (t) y(t) ρ(x) dt, Ù¥®¼êρ(x) ≥ 0 … 6≡ 0© §AϜ/´ρ(x) ≡ 1§ (x, y) = Z 1 0 x ∗ (t) y(t) dt. ŠâSÈún¥11^‡¦§Œ±wѧØØ´¢½E¥þm§‡¥ þÚ§gSÈo´¢ê§ù13^‡¦¥Øªâk¿Â© 3dÄ:þ§Òr (x, x) 1/2 = kxk ¡¥þx(=¥þx/Ý0)© lþ¡SÈún¥11Ú12^‡¦§Œ (x, αy) = α(x, y). Ïd kαxk = (αx, αx) 1/2 = h αα ∗ (x, x) i1/2 = |α| kxk. ?ۇš"¥þر§Ò¤/ü Ý0¥þ§½¡8z¥þ§ ³ x kxk , x kxk ´ = 1. F ½Â SÈ¥þm¡SÈm© F äkSÈ¢¥þm¡îApm(Euclidean space)¶ F äkSÈE¥þm¡jm(unitary space)© 3ïá SȽÂ￾§ÒŒ±Ú\¥þVg©