§181内积空 第4页 ★当且仅当(a,y)=0时,两矢量a,y正交 ★零矢量和任何矢量都正交 ★任何一组线性无关矢量,都可通过标准步骤使之两两正交 设这组线性无关的矢量为{y1,y2,y,…},作线性组合 T2=y2+a211, 要求它们是两两正交的 (a1,m2)=(m1,y+a21m1) (c1,v2)+a21(c1,a1) (c1,m3)=(a1,+a3c+a32m2 0. (c2,c3)=(m2,33+a31a1+a322) (c2,y)+a32(m2,m2)=0 所以 (a2,v3) 更普遍的结果是 (ak, yi) 这样的步骤称为 Schmidt正交化 定义2若对于所有的和j,(m2;m)=6,则称矢量组{1m2,…}是正交归一的 正交归一的矢量一定是线性无关的,这是因为如果将它们线性组合成零矢量, a1正1+a22+a33+…=0, 则一定有 aj=0,j=1,2,3 所以η维矢量空间中的任何一组n个正交归一矢量都可以构成此空间的基,称为正 交归一基(或称正交标准基) 选择正交归一基,无论在理论上或实用上,都具有极大的重要性§18.1 SÈm 1 4  F …=(x, y) = 0ž§ü¥þx, y© F "¥þÚ?Û¥þÑ© F ?Û|‚5Ã'¥þ§ÑŒÏLIOÚ½¦ƒüü© ù|‚5Ã'¥þ{y1, y2, y3, · · · }§Š‚5|Ü x1 = y1, x2 = y2 + α21x1, x3 = y3 + α31x1 + α32x2, . . . ‡¦§‚´üüµ (x1, x2) = (x1, y2 + α21x1) = (x1, y2) + α21(x1, x1) = 0, (x1, x3) = (x1, y3 + α31x1 + α32x2) = (x1, y3) + α31(x1, x1) = 0, (x2, x3) = (x2, y3 + α31x1 + α32x2) = (x2, y3) + α32(x2, x2) = 0, . . . ¤± α21 = − (x1, y2) (x1, x1) , α31 = − (x1, y3) (x1, x1) , α32 = − (x2, y3) (x2, x2) . ÊH(J´ αjk = − (xk, yj ) (xk, xk) . ùÚ½¡Schmidtz© ½Â2 eéu¤kiÚj§(xi, xj ) = δij§K¡¥þ|{x1, x2, · · · }´8© 8¥þ½´‚5Ã'§ù´ÏXJò§‚‚5|ܤ"¥þ§ α1x1 + α2x2 + α3x3 + · · · = 0, K½k αj = 0, j = 1, 2, 3, · · · . ¤±n‘¥þm¥?Û|n‡8¥þь±¤dmħ¡ 8Ä(½¡IOÄ)© ÀJ8ħÃØ3nØþ½¢^þ§Ñäk4Œ­‡5©