§181内积空 第5页 在n维矢量空间V中,设有一组正交归一矢量 ,Tk},k≤n. 则对于任意一个矢量a∈V,可求得a=(a1,m).显然,应当有 ∑aa|=(a-∑a,a,m->am)20 i=1 另一方面, aiai a,m)-∑am,m)+∑aa(a;,m) (m,c)-∑aia4-∑a;a:+∑aia5 于是,得到一个重要的不等式 |12≥∑!(a,m) 这个不等式称为 Bessel不等式 Bessel不等式的一个重要推论就是 Schwarz不等式:若m,y是内积空间中的两个矢量,则 如果y是零矢量,y=0,上式中的等号成立,如果v≠0,则可在 Bessel不等式中的k取为1, 且1=y/y‖,于是就有 Schwarz不等式即证.口 定义3在有限维矢量空间中,如果一组正交归一的矢量(称为一个正交归一矢量集),并 不包含在另一个更大的正交归一矢量集之中,则称该正交归一矢量集是完备的 ★在有限维的矢量空间中,一个完备的正交归一矢量集中矢量的个数必然与空间的维数相§18.1 SÈm 1 5  3n‘¥þmV ¥§k|8¥þ {x1, x2, · · · , xk}, k ≤ n. Kéu?¿‡¥þx ∈ V §Œ¦αi = (xi, x)©w,§Ak ° ° ° x − X k i=1 αixi ° ° ° 2 ≡ ³ x − X k i=1 αixi, x − X k i=1 αixi ´ ≥ 0. ,¡§ ³ x − X k i=1 αixi, x − X k i=1 αixi ´ = (x, x) − X k i=1 α ∗ i (xi, x) − X k i=1 αi(x, xi) + X k i,j=1 α ∗ i αj (xi, xj ) = (x, x) − X k i=1 α ∗ i αi − X k i=1 αiα ∗ i + X k i,j=1 α ∗ i αj δij = (x, x) − X k i=1 α ∗ i αi, u´§‡­‡Øª (x, x) ≥ X k i=1 ¯ ¯(xi, x) ¯ ¯ 2 , = kxk 2 ≥ X k i=1 ¯ ¯(xi, x) ¯ ¯ 2 , ù‡Øª¡Besselت© Besselت‡­‡íØÒ´Schwarzتµex, y´SÈm¥ü‡¥þ§K |(x, y)| ≤ kxk · kyk. XJy´"¥þ§y = 0§þª¥Ò¤á©XJy 6= 0§KŒ3Besselت¥k1§ …x1 = y/kyk§u´Òk ¯ ¯ ¯ ¯ µ x, y kyk ¶¯ ¯ ¯ ¯ 2 ≤ kxk 2 , Schwarzت=y© ½Â3 3k‘¥þm¥§XJ|8¥þ(¡‡8¥þ8)§¿ ؝¹3,‡Œ8¥þ8ƒ¥§K¡T8¥þ8´© F 3k‘¥þm¥§‡8¥þ8¥¥þ‡ê7,†m‘êƒ Ó©