高等数学教案 第十二章无穷级数 问题：设fx)是周期为2π的周期函数，且能展开成三角级数： f=g+∑a cos+sin k) 那么系数ao,a1,b1,·与函数fx之间存在着怎样的关系？ 假定三角级数可逐项积分，则 ,eeos=,受cosnd+2aeoskrcosak+h,snkcosnd, k=1 类似地T,f))sind=b,r。 傅里叶系数： a-fcy. ()cosm )sin nxd 系数ao,a1,b1,…叫做函数fx)的傅里叶系数 傅里叶级数：三角级数 2+2 .o+，么sam 称为傅里叶级数，其中ao,a1,b1,·是傅里叶系数. 问题：一个定义在(-0，+∞)上周期为2π的函数x),如果它在一个周期上可积，则 一定可以作出孔x)的傅里叶级数.然而，函数x)的傅里叶级数是否一定收敛？如果它收敛， 它是否一定收敛于函数fx?一般来说，这两个问题的答案都不是肯定的， 定理（收敛定理，狄利克雷充分条件）设fx是周期为2π的周期函数，如果它满足： 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，在一个周期内至多只有有限个极值点，则 x的傅里叶级数收敛，并且 当x是fx的连续点时，级数收敛于x; 当x是x)的间断点时，级数收敛于 [f0x-0)+f(c+0] 例1设x)是周期为2π的周期函数，它在[-π而上的表达式为 1-π≤x<0 f)=1 0≤x<π 将x)展开成傅里叶级数 解所给函数满足收敛定理的条件，它在点=kπ(k=0,±1，±2，··)处不连续，在其它 -2