s=,√l+xdx=5(1+x)2 (8-2 例34.6求心脏线r=a(1+cos)的周长,其中a>0。 解由对称性 s=-2fV=2+()d0=2∫na2+20s0 4 a cos=d6=8asin=8a。 例3.4.7求椭圆x+y=1(a>b>0)的周长 解椭圆的参数方程为 0≤6≤2丌。 y= bsin 8 由对称性,其周长等于它落在第一象限部分的4倍,故 s=4jiva2sin20+b2 cos20de=4aJ2V1-E2cos0de 其中E= 为椭圆的离心率 椭圆周长表达式中出现的积分[√1-2cs3d0(0<E<1)称为第二类椭 圆积分。由于被积函数1-2cos2O的原函数不能用初等函数来表示,因而椭圆 周长必须用数值积分的方法计算 七.旋转曲面的面积 设曲线L的方程为 y=f(x) ≤x<b L绕x轴旋转一周得一旋转曲面。下面来导出计算该旋转曲面面积A的公式。设 ∫具有连续导数,且为叙述方便,设∫为非负函数 在[a,b]中考察区间微元[x,x+dx]。在该区间微元上用切线段PT代替原来的 弧段PO(图3.4.9)用PT绕x轴旋转一周所得的圆台侧面积近似替代弧PO旋 转而得的曲面面积,此圆台的上、下底半径分别为f(x),f(x)+f(x)x,侧棱 长为ds=√l+f(x)ax。略去高阶无穷小,即有 △4≈{(x)+[(x)+f(xd]ds2zf(x)h+[(x)2h 即dA=2f(x)√l+f(x)2ax。因此, A=27∫(x)+(3 1 2 3 3 1 (1 ) 3 2 s  1 xdx   x  (8 2 2) 3 2   。 例 3.4.6 求心脏线 r  a(1 cos) 的周长，其中 a  0 。 解 由对称性        0 2 2 s 2 r (r ) d      0 2 a 2 2cos d       0 2 4a cos d a 8a 2 8 sin 0    。 例 3.4.7 求椭圆 1 2 2 2 2   b y a x （ a  b  0 ）的周长。 解 椭圆的参数方程为      sin , cos ,   y b x a 0    2 。 由对称性，其周长等于它落在第一象限部分的 4 倍，故    2 0 2 2 2 2 4 sin cos  s a  b  d    2 0 2 2 4 1 cos  a  d ， 其中 a a b 2 2    为椭圆的离心率。 椭圆周长表达式中出现的积分   2 0 2 2 1 cos    d （ 0    1 ）称为第二类椭 圆积分。由于被积函数   2 2 1 cos 的原函数不能用初等函数来表示，因而椭圆 周长必须用数值积分的方法计算。 七．旋转曲面的面积 设曲线 L 的方程为 y  f (x)， a  x  b。 L 绕 x 轴旋转一周得一旋转曲面。下面来导出计算该旋转曲面面积 A 的公式。设 f 具有连续导数，且为叙述方便，设 f 为非负函数。 在 [a, b] 中考察区间微元 [x, x  dx] 。在该区间微元上用切线段 PT 代替原来的 弧段 PQ （图 3.4.9）用 PT 绕 x 轴旋转一周所得的圆台侧面积近似替代弧 PQ 旋 转而得的曲面面积，此圆台的上、下底半径分别为 f (x) ， f (x)  f (x)dx，侧棱 长为 ds f x dx 2  1[ ( )] 。略去高阶无穷小，即有 A  { f (x) [ f (x)  f (x)dx]}ds f x f x dx 2  2 ( ) 1[ ( )] 。 即 dA f x f x dx 2  2 ( ) 1[ ( )] 。因此， A f x f x dx b a 2  2 ( ) 1[ ( )]  