教学内容 偏导数的定义及其计算法 定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y)的某一邻域内有定义,当y固定在y而x 在x处有增量△x时,相应地函数有增量 f(x0+△x,y)-f(x0,y), 如果mf(x+Ax,y)-f(xn3) 20存在,则称此极限为函数z=f(x,y)在点 (x,y)处对x的偏导数,记为 x=x或f(x,y) 同理可定义函数=f(x,y)在点(x0,y)处对y的偏导数,为 lim /(o, yo+Ay)-/(xo, yo) 记为 别 ,=x或∫(x,y) 如果函数z=f(x,y)在区域D内任一点(x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个 偏导数就是x、y的函数,它就称为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导数, 记作 x或f(x,y) 同理可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导数,记作 f(,y) 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如u=f(x,y,=)在(x,y,z)处 f(x, y, =)=lim f(x+Ax,y, 3)-f(x,y,=) Ax→0 ∫,(x,y,z)=Im f(x,y+△y,=)-f(x,y,=) f(x,y,=)=lim ∫(x,y,z+△-)-f(x,y,2) 22 教 学 内 容 一、偏导数的定义及其计算法 定义 设函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 的某一邻域内有定义，当 y 固定在 0 y 而 x 在 0 x 处有增量 x 时，相应地函数有增量 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + x y − f x y ， 如果 x f x x y f x y x  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 存在，则称此极限为函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处对 x 的偏导数，记为 0 0 y y x x x z =  =  ， 0 0 y y x x x f =  =  ， 0 0 y y x x x z = = 或 ( , ) 0 0 f x y x . 同理可定义函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处对 y 的偏导数， 为 y f x y y f x y y  +  −  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 记为 0 0 y y y x x z =  =  ， 0 0 y y y x x f =  =  ， 0 0 y y x x y z = = 或 ( , ) 0 0 f x y y . 如果函数 z = f (x, y) 在区域 D 内任一点 (x, y) 处对 x 的偏导数都存在，那么这个 偏导数就是 x 、 y 的函数，它就称为函数 z = f (x, y) 对自变量 x 的偏导数， 记作 x z   ， x f   ， x z 或 f (x, y) x . 同理可以定义函数 z = f (x, y) 对自变量 y 的偏导数，记作 y z   ， y f   ， y z 或 f (x, y) y . 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如 u = f (x, y,z) 在 (x, y,z) 处 , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 x f x x y z f x y z f x y z x x  +  − =  → , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 y f x y y z f x y z f x y z y y  +  − =  → . ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 z f x y z z f x y z f x y z z z  +  − =  →