例1求z=x2+3xy+y2在点(1,2)处的偏导数 解 2x+3 ar/a!=2×1+3×2=8, 3×1+2×2=7 ay 例2设z=xy(x>0,x≠1),求证 y ax In x ay az - r In x az1 az =xy+xy=2=.原结论成立 例3设 求 az az x t 1 √y2=yD y y 不存在 例4已知理想气体的状态方程p=RT(R为常数),求证:3 例 1 求 2 2 z = x + 3xy+ y 在点 (1,2) 处的偏导数． 解 =   x z 2x + 3y ; =   y z 3x + 2y . =    = = 2 1 y x x z 21+ 3 2 = 8 , =   = = 2 1 y x y z 31+ 22 = 7 . 例 2 设 y z = x (x  0, x  1) ，求证 z y z x x z y x 2 ln 1 =   +   . 证 =   x z , y−1 yx =   y z x ln x, y y z x x z y x   +   ln 1 x x x yx y x y y ln ln 1 1 = + − y y = x + x = 2z. 原结论成立． 例 3 设 2 2 arcsin x y x z + = ，求 x z   ， y z   . 解 =   x z          +  + − x x y x x y x 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 2 2 2 ( ) | | x y y y x y +  + = ( | |) 2 y = y . | | 2 2 x y y + = =   y z          +  + − y x y x x y x 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 2 2 ( ) ( ) | | x y xy y x y + −  + = x y y x 1 sgn 2 2 + = − ( y  0) 0 0 =    y y x z 不存在． 例 4 已 知 理 想 气 体 的 状 态 方 程 pV = RT （ R 为 常 数 ）， 求 证 ：