华东师范大学2003年攻读硕士学位研究生入学试题 --数学分析 (30分)简答题(只需写出正确答案)。 (x-1)2(x+2) 2. y=arccos( x+7 4=y ,则d 5D=x,yx2+y251)则ead 6L=kxy)x2+y2=1}方向为顺时针方向,则x-yhk= 二(20分)判别题(正确的说明理由,错误的给出反例)。 1若imxn=0则 I limx=0 2若f(x)在(0,∞)上可导,且导函数f(x)有界,则f(x)在(O0,∞)上一致连续。 3若f(x)在ab上可积,F(x)=f(d在x∈(a,b)上可导,则F(x)=f(x) 4若∑a2m1-a2n)收敛,且lman=0则∑a收敛。 三、(17分)求极限lm( x记此极限为f(x),求函数f(x)的间断点,并判别间断点的类型 四(7分)设r(9a连线,(0)=0证明/(xk其中M=m/外 五(17分)若函数f(xy)在R2上对x连续,且存在L>0,对xy,y∈Rf(x,y)-f(x,y≤Ly-y 求证:在f(x,y)上R2连续 六(7分)求下列积分/=xy(a>0其中s=kxyx2+y2+=2=a2 f(x, y, =)华东师范大学 2003 年攻读硕士学位研究生入学试题 ­­­­数学分析 一.  （30 分）简答题（只需写出正确答案）。 = - + - Æ ( 1 ) ( 2 ) sin  (1  ) 1 .lim  2 2 1 x  x  x  x = + = '  2 ),  1 1 2.  arccos( y  x  y  则 Ú xdx = 2 3. ln  = dz = y  x  z y  4. x sin( ),则 = { + £ } = ÚÚ + D  x  y  D x  y  x  y  e  dxdy 2  2  5 . ( , ) |  1  , 2 2 则 = { + = } - = ÚL  6 .L  (x , y ) | x  y  1  ,方向为顺时针方向， 则 xdy ydx 2 2 二（20 分）判别题（正确的说明理由，错误的给出反例）。 1. lim  = 0 , lim  = 0  Æ• n n n n 若 x  则 x  。 2 .若f (x )在 （ 0 , )上可导 ， 且导函数 f  (x )有界 ， 则 f (x )在 (0 , )上一致连续 。 ' • • 3 ( ) [ ,  ] ( ) ( ) ( ,  ) ( ) ( ).  0 0 '  0 f x  a b ，F x  f t dt x  a b ， F  x  f x  x  a = Œ = 若 在 上可积 Ú 在 上可导 则 （a a  ， a  a  。 n n n n n n 若 n 收敛 且 则  收敛 • = Æ• • = - - = 1 2 1 2 1 4 . ) lim  0 . f  x  f  x  ， 。 x  t  t  x  e  t  x  三 分 求极限 ) .记此极限为 ( ),求函数 ( )的间断点 并判别间断点的类型 sin  sin  .(17  ) lim ( sin - sin Æ , max  ( ). 2  .(17  ) f ( ) [0 , ] (0 ) 0  ( ) '  0 2 0 ' M f  x  Ma  x  a  ， f  ： f  x  dx  x  a a £ £ = £ = 四 分 设 在 上连续 且 证明 Ú 其中 ( , ) . (17  ). ( , ) 0 , , , , ( , ) ( , ) . 2 2 '  "  '  "  '  "  求证 在 上 连续 五 分 若函数 在 上对 连续 且存在 对 ： f  x  y  R f x  y  R x  ， L > "x  y  y  Œ R f  x  y  - f  x  y  £ L y  - y  { } ( , , ) {  . .(17  ) ( , , ) ( 0 ), ( , , ) |  , 2  2  2  2  2  2  ,  0,  2 2 3 2 x  y  z  x  y  z  x  y  S f  x  y  z I f  x  y  z dS  a  S  x  y z x  y  z a  + ³ + < + = = > = + + = 六 分 求下列积分 ÚÚ 其中