16.3绕过球体的流动 个半径为R的实心球以相对于流体的速度Ⅴ在流体中运动。若以球体为参照系,则球 是静止的,而离球体较远的流体则以相同的速度运动,靠近球体的流速却比较小,甚至在球体 表面的速度为零。 在球坐标中,r是距球心的距离,O是流动场对称轴的纬度角(因此静止时θ=丌),φ是 圆心角。在球坐标中,稳态流速与压力是 V1 3R,1(R 2r 4r4(r p=po-pgh--n 式中,h是重力的反方向 以上各式可以用来计算流体对球体施加的曳力,以及球体对流体的曳力。总应力的法向量 是牵引力t ·n+ 这是固体表面对流体在每单位面积上施加的力。对其积分可求出固体对流体所施加的合力 因此,加上负号之后就变为对固体的曳力。 +pn ) dA 当z=0且a/=0时,积分得 0+prlA=6rnRV (38) 式中z是θ=0的方向,即流动方向。 17练习 证明163节中绕球体做斯托克斯流动的流体速度场及压力场(即式33到35)也满足在球体 坐标系中的斯托克斯方程 2证明163节在球体表面,即r=R处,由速度场给出的剪应力与压力积分后可得到式38 3式37中给出的绕球体流动的总曳力等于浮力(液固密度差乘以球体体积),从而解出在斯托 克斯流动中上浮或者下沉的球形颗粒的最终速度 随体导数及奈维-斯托克斯方程 对流传递包括由于物体相对于参照系的运动而引起的溶质、热量、质量及动量传递。在流 体系统中,对流传递相对于只有扩散来说增强了传递速率。人们一般不用对流来描述固体的传 99 1.6.3 绕过球体的流动 一个半径为 R 的实心球以相对于流体的速度 V∞ 在流体中运动。若以球体为参照系，则球 是静止的，而离球体较远的流体则以相同的速度运动，靠近球体的流速却比较小，甚至在球体 表面的速度为零。 在球坐标中，r 是距球心的距离，θ 是流动场对称轴的纬度角（因此静止时θ =π ），φ 是 圆心角。在球坐标中，稳态流速与压力是 cosθ r R 2 1 r R 2 3 u V 1 3 r ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∞ − + (33) θ sinθ r R 4 1 r R 4 3 u V 1 3 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − ∞ − − (34) ρ η cosθ r R R V 2 3 p p gh 2 0 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − − ∞ (35) 式中，h 是重力的反方向 以上各式可以用来计算流体对球体施加的曳力，以及球体对流体的曳力。总应力的法向量 是牵引力 t 。 t = τ ⋅ nˆ + pnˆ (36) 这是固体表面对流体在每单位面积上施加的力。对其积分可求出固体对流体所施加的合力。 因此，加上负号之后就变为对固体的曳力。 F = −∫ 球面 ( ) τ ⋅ nˆ + pnˆ dA (37) 当 0 r 0 τ rφ = 且∂ ∂φ = 时，积分得 ( ) prˆ dA 6 RV zˆ ˆ F rˆ 0 d rr r ∞ = = − + + = ∫ τ τ θ πη π θ θ (38) 式中 zˆ 是θ = 0 的方向，即流动方向。 1.7 练习 1 证明 1.6.3 节中绕球体做斯托克斯流动的流体速度场及压力场（即式 33 到 35）也满足在球体 坐标系中的斯托克斯方程。 2.证明 1.6.3 节在球体表面，即 r=R 处，由速度场给出的剪应力与压力积分后可得到式 38 3.式 37 中给出的绕球体流动的总曳力等于浮力（液固密度差乘以球体体积），从而解出在斯托 克斯流动中上浮或者下沉的球形颗粒的最终速度。 2 随体导数及奈维-斯托克斯方程 对流传递包括由于物体相对于参照系的运动而引起的溶质、热量、质量及动量传递。在流 体系统中，对流传递相对于只有扩散来说增强了传递速率。人们一般不用对流来描述固体的传