第二章多元微分学 6.设F(x,y,z)=0为空间光滑曲面,在该曲面同侧有两点 P(x1,y1,=1)P(x2,y2,=2), ,今一光线从P射出,经曲面再反 射到P2,根据光程最短原理,证明反射定理:即光线途经曲面时, 入射角(入射线与曲面在该点法线立夹角)等于反射角(反射线与曲 面在该点法线立夹角) x M y-V1 =1=(x-x)+(y-y)+(-=) r=-=F 元2=(x-x2y-y2z-z2) h2==x-x2)+(y-y2)+(-=2) 72 Min(r +r s!.F(x,y=)=0 L(x,y,=,)=(+n2)+F(xy=) g(=0=8m(+)+9dF=0 x,y,= 1x0+2gdF=0n++k万=0 x,y F(xy=)=0 An三者共面 F20×n=0 →0×=际20x→Sm(70,)=Sm(70x) (G0,n)=0(20×) 7.P是三角形ABC中的一点,从它向三边作垂直线,由垂足形成 第二章习题讨论第二章 多元微分学 第二章 习题讨论 6. 设 F(x, y,z) = 0 为空间光滑曲面, 在该曲面同侧有两点 ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 P x , y ,z , P x , y ,z , ，今一光线从 P1 射出，经曲面再反 射到 P2 ，根据光程最短原理，证明反射定理：即光线途经曲面时， 入射角(入射线与曲面在该点法线立夹角)等于反射角(反射线与曲 面在该点法线立夹角)。 解：令 ( ) 1 1 1 1 r = x − x y − y z − z  , ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 1 1 r = r = x − x + y − y + z − z  10 1 1 1 r r r grad r   = = ; ( ) 2 2 2 2 r = x − x y − y z − z  , ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 r = r = x − x + y − y + z − z  20 2 2 2 r r r grad r   = = ( )  ( )   = + . . , , 0 1 2 st F x y z Min r r , L(x, y,z, ) (r r ) F(x, y,z)  = 1 + 2 +  grad L(x, y,z,) = 0  ( )  ( )   = + + = , , 0 1 2 0 F x y z grad r r grad F   ( )   = + + = , , 0 10 20 0 F x y z r r  grad F     ( )   = + + = , , 0 10 20 0 F x y z r r n          +  = 0 , , 10 20 10 20 r n r n r r n         三者共面  r n r n Sin(r n) Sin(r n)         10  = 20   10 , = 20   (r n) (r n)      10 , = 20  . 7. P 是三角形 ABC 中的一点，从它向三边作垂直线，由垂足形成