第七章实数的完备性 (3)若an>0,bn>0(n=1,2,3,…),则 nan,mbn≤tiab liman limbn2 lima, bn (4)若an>0,1Bn=man 证(1)设man=A,则对任给正数e,小于A-a的an至多有限 项,小于A+E的an有无限项,即{-an}中大于-A+e的至多有限项 大于-A-E的有无限项,所以lin(-a)=-A,即 Liman = lim(an) (2)设m=a,mnhn=b,m(an+b)=c假设a+b>c,由 下极限充要条件知对任给正数e,有无限个n,使得an+bn<c+e,今取 e0=2(a+b-)>0,则有无限个n,使得an+hn<c+(a+b-c) =2(a+b-o)=2(a+b+c)=a+b-o.另一方面,由于 lin an= n,inh=b,故至多有有限个n和有限个m,使得an<a-+hn< b-2,设a满足关系式a<a-号的项数为p,{h满足关系式h <b-2的项数为q则满足a+bn<a+b-6的n至多为p+q个, 这与上面得到的结论:“有无限个n使an+bn<a+b-E”相矛盾,所 以只可能是a+b≤c,即 azn+mh≤im(a (3)先证第一式,设ma=a,gmhn=b,mah=c,若a=0(或 b=0),则因anbn≥0,故c≥0,所以有 an.mnbn≤ 若a>0,b>0,假设ab>c,任取正数e使ab-c>c>0,则有无限多 项满足