min f(x) g,(x)≥0.i=1,2…,m s. t h(x)=0,j=12…,P (4.1) 的极小点该点可能位于可行域的内部这是无约束问题,X必满足Vf(x)=0若X位于 可行域的边界上,不失一般性设X位于第一个约束形成的可行域边界上,即第易个约束是 X点的起作用的约束(g1(X')=0)X是极小点则Vg1(X)必与Vf(X)在一条直线上 且方向相反这说明在上述条件下存在实数A1≥0使 vf(r)-AVg,(X0=0 若有m个起作用约束,Vg1(X)Vg2(X),Vgn(X)线性无关,即存在 1≥0,…,m≥0,使 V(x)-∑Vg,(X 为了把不起作用的约束也包括在上式中增加条件 1g(X)=0 1≥0 我们用 h,(x)≥0 h,(x)≤0 代替约束条件b(x)=0 这样可得如下条件 v(x)-∑lh,(x)=0 t,h, (X)=0 ly20.(=12…,P) 这样设x”是(41)式极小点而且X点的所有起作用约束的梯度V(X,j=12…P和 Vg(X,=12,,m线性无关则存在A=(,2,…,篇)及U=(u,2,…,n),使 下述条件成立15 min f (x) s.t.    = =  = h x j p g x i m j i ( ) 0, 1,2,..., ( ) 0, 1,2,..., (4.1) 的极小点,该点可能位于可行域的内部,这是无约束问题, * X 必满足 ( ) 0 * f X = .若 * X 位于 可行域的边界上,不失一般性,设 * X 位于第一个约束形成的可行域边界上,即第易个约束是 * X 点的起作用的约束( ( ) 0 * g1 X = ) * X 是极小点,则 ( ) * g1 X 必与 ( ) * f X 在一条直线上 且方向相反,这说明在上述条件下存在实数 1  0 使 ( ) ( 0 0 * 1 1 * f X −  g X = 若 有 m 个 起 作 用 约 束 , ( ), ( ),..., ( ) * * 2 * g1 X g X gn X 线性无关 , 即存在 1  0,..., m  0,使 =  −  = m i f X i gi X 1 * * ( )  ( ) 0 为了把不起作用的约束也包括在上式中,增加条件     = = 0( 1,2,..., ) ( ) 0 * i m g X i i i   我们用    −   ( ) 0 ( ) 0 h x h x j j 代替约束条件 hj (x) = 0 这样可得如下条件           = =  − = = 0,( 1,2,..., ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 * 1 * * u j p u h X f X u h X j j j p j j j 这样,设 * X 是(4.1)式极小点,而且 * X 点的所有起作用约束的梯度 hj (X ), j 1,2,..., p *  = 和 gi (X ),i 1,2,...,m *  = 线性无关,则存在 T m ( , ,..., ) * * 2 * 1 *  =    及 T U u u up ( , ,..., ) * * 2 * 1 * = ,使 下述条件成立