《数学分析》下册 第二十章曲线积分 海南大学数学系 [x=x(). y=y(r).tEla.B] 设有空间光滑曲线L:(2=) 起点为(aa=a》,终点为 ((B以(B)=(》则有 ∫P+O+G Pt:h0+e:0hO+00:60L60h 注：仍为起点参数作下限，终点参数作上限。 例3计算第二型曲线积分+k+妙+ ,L是螺旋线：x=acost, y=asnt,:=bl从1=0到t=π上的一段。 「x+(+y+x2dt 解 dcwsm1+aos1-dmas1+abemr7h -2a0+bh 例4求力少，-x,x+y+)作用下i)质点由A沿螺旋线L到B所做的功， 其中L:x=acost,y=asm1,:=bt,0≤1≤2π，i)质点由A沿直线L2到 B所做的功. 解1)m-+6+4法 da1-gow1+obeosr+absnr+6ih =2x(2-a2） i)m.-++* a+2地+《数学分析》下册 第二十章 曲线积分 海南大学数学系 6 设有空间光滑曲线 L ： ( ) ( ) ( ) ,   , , ,       = = = t z z t y y t x x t 起点为 (x(), y(),z()) ，终点为 (x(), y(),z()) 则有：  + + L Pdx Qdy Rzy =  ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( )   +  +    P x t , y t ,z t x t Q x t , y t ,z t y t R x t , y t ,z t z t dt ． 注：仍为起点参数作下限，终点参数作上限． 例 3 计算第二型曲线积分 ( )  + + + L xydx x y dy x dz 2 ，L 是螺旋线： x = acost ， y = asin t ， z = bt 从 t = 0 到 t =  上的一段。 解 ( )  + + + L xydx x y dy x dz 2 = ( )  − + − +  0 3 2 2 2 2 2 2 a costsin t a cos t a sin t cost a bcos t dt = a (1+ b) 2 1 2 ． 例 4 求力 F (y,−x, x + y + z) 作用下ⅰ）质点由 A 沿螺旋线 L1 到 B 所做的功， 其中 L1：x = acost ，y = asin t ，z = bt ，0  t  2 ,ⅱ）质点由 A 沿直线 L2 到 B 所做的功. 解 ⅰ） W = ( )  − + + + L ydx xdy x y z dz = ( )  − − + + + 2 0 2 2 2 2 2 a sin t a cos t abcost absin t b t dt = ( ) 2 2 2 b − a ． ⅱ） W = ( )  − + + + L ydx xdy x y z dz = ( )  + 2 0 a t dt = 2b(a +b)．