运筹学讲义 B1={在时刻t时,排队系统内有n-1个顾客}, B2={在时刻t时,排队系统内有n个顾客} B3={在时刻t时,排队系统内有n+1个顾客}, 则由Pn(1)的定义知,P(B1)=Pn=1(1),p(B2)=Pn(D),P(B3)=Pn+1(t) 由模型假设知,顾客到达的时间间隔服从参数为A的指数分布,服务时间服从参数为的指数分 布,于是 p(A|B1)=p{在时刻t+M时,排队系统内有n个顾客|在时刻t时,排队系统内有n-1个顾客} =p{在时间[t,t+△]内,有1个顾客到达,无顾客接受完服务后离开} p(Y=1=(A△M)=Me=2△1-△+o-2△ =M-A2(△r)2+AAt·o(-△r)=A△t+o(△r),M→0 川:低阶无穷小量lmO(△D)=0) (-x) p(A|B3)=p{在时刻t+△时,排队系统内有n个顾客|在时刻t时,排队系统内有n+1个顾客} p{在时间[t,t+M门]内,无顾客到达,有1个顾客接受完服务后离开} =p(Z<△)=1-e=1-[-uM+o(-△)=u△-o(-△)=u△+o(M),M→0 p(A|B2)=p{在时刻t+M时,排队系统内有n个顾客|在时刻t时,排队系统内有n个顾客} p{在时间[t,+△门]内,既无顾客到达,也无顾客接受完服务后离开} =p(A|B1)∪(A|B3)=1-p(A|B1)∪(A|B3)=1-p(A|B1)-p(A|B3) 1-[λMt+o(△)]-[u△+o(△n=1-(+)△t-2o(△) 1-(2+山)△t+o(△),△t→>0. 注意,此处B1,B2,B3虽不构成完备事件组,但不难证明,p(A|Bk)(k≥2)都是M的无穷小量运 筹 学 讲 义 3 B1 = { 在时刻 t 时，排队系统内有 n −1 个顾客 } ， B2 = { 在时刻 t 时，排队系统内有 n 个顾客 } ， B3 = { 在时刻 t 时，排队系统内有 n +1 个顾客 } ， 则由 p (t) n 的定义知， ( ) ( ) 1 1 p B p t = n− ， ( ) ( ) 2 p B p t = n ， ( ) ( ) 3 1 p B p t = n+ . 由模型假设知，顾客到达的时间间隔服从参数为  的指数分布，服务时间服从参数为  的指数分 布，于是 ( | ) { p A B1 = p 在时刻 t + t 时，排队系统内有 n 个顾客|在时刻 t 时，排队系统内有 n −1 个顾客 } = p{ 在时间 [t,t + t] 内，有 1 个顾客到达，无顾客接受完服务后离开 } ( ) ( ) ( ), 0; [1 ( )] 1! ( ) ( 1) 2 2 1 =  −  +   −  =  +   → =   =  −  + −   = = = −  −  t t t o t t o t t e t e t t o t t p Y t t             （注：    = −  = − = = 0 0 ! ( ) , ! n n x n n x n x e n x e ；低阶无穷小量 0 ( ) lim 0 =    → t o t t ） ( | ) { p A B3 = p 在时刻 t + t 时，排队系统内有 n 个顾客|在时刻 t 时，排队系统内有 n +1 个顾客 } = p{ 在时间 [t,t + t] 内，无顾客到达，有 1 个顾客接受完服务后离开 } = (   ) =1− =1−[1−  + (−  )] =  − (−  ) =  + ( ), → 0; −  p Z t e t o t t o t t o t t t       ( | ) { p A B2 = p 在时刻 t + t 时，排队系统内有 n 个顾客|在时刻 t 时，排队系统内有 n 个顾客 } = p{ 在时间 [t,t + t] 内，既无顾客到达，也无顾客接受完服务后离开 } 1 ( ) ( ), 0. 1 [ ( )] [ ( )] 1 ( ) 2 ( ) (( | ) ( | )) 1 (( | ) ( | )) 1 ( | ) ( | ) 1 3 1 3 1 3 = − +  +   → = −  +  −  +  = − +  −  =  = −  = − − t o t t t o t t o t t o t p A B A B p A B A B p A B p A B       互斥 注意，此处 1 2 3 B ,B ,B 虽不构成完备事件组，但不难证明， p(A| B )(k  2) k 都是 t 的无穷小量