线性代数重点难点30讲 第30讲判定二次型及其矩阵 正定性的方法与技巧 在第16讲中,我们重点地讨论了化二次型为标准形的基本方法,本讲集中讨论二次型 理论中的难点问题一二次型和矩阵的正定性的判定方法 所谓二次型是指含有n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次函数 f( 2aaa ( a21a22 若令 A= 则二次型∫可改写成矩阵向量形式f(x1,…,xn)=xAx,其中A称为二次型的矩阵,因为 an=a(i,j=1,2,…,n),所以二次型的矩阵A均为对称矩阵,且二次型与对称矩阵一一 对应,并把矩阵A的秩称为二次型的秩 如果实二次型f(x1,…,x,)=x2Ax,对任意一组不全为零的实数x=(x1,x2 xn)2,都有f(x1,…,xn)=xAx>0,则称该二次型为正定二次型,正定二次型的矩阵A 称为正定矩阵(参考第14讲) 例1设A,B为同阶实对称阵,且A与B都正定,试证A+B,kA(k>0)也正定 证由A与B对称知(A+B)=A+B1=A+B,所以A+B也是实对称矩阵,又 A、B正定,对于任意非零向量x,恒有xAx>0,x2Bx>0,从而有 x(A+B)x=x Ax +x Bx >0,x'(kA)x= kx'Ax>0, 故由定义知A+B,kA正定 例2证明:若A是正定矩阵,则A也是正定矩阵 证因为A正定,所以1A1>0,从而A存在,且对任何y=(y1,y2,…,yn)≠0 恒有yAy>0,于是 xAx=xIAAx=laixa x=aix A AAx I AIx(A)AAr=lAIx(A)AAx 1A1(A-x)A(Ax)(这里用到了A的对称性) 因为A可逆,当x≠0时,y=Ax≠0,从而对任何x≠0, FTAx=IAI yAy>0