笫30讲判定二次型及其矩阵正定性的方法与技巧 183 根据定义知,A·是正定矩阵 例3设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n实矩阵B为B的转置矩阵,试证: BTAB为正定矩阵的充要条件是B的秩R(B)=n, 证必要性设BTAB为正定矩阵则对任意的实n维列向量x≠0,有x2(BAB)x> 0,即(Bx)A(Bx)>0,于是Bx≠0,因此线性方程组Bx=0只有零解,从而其系数行列式 B的秩R(B)=n 充分性因(BAB)=BAB=BAB,即BAB为实对称矩阵若秩(B)=n,则线 性方程组Bx=0只有零解,从而任意实n维列向量x≠0,有Bx≠0.又A为正定矩阵,所 以对于Bx≠0,有(Bx)A(Bx)>0,于是当x≠0时,x(BAB)x>0,故BAB为正定 矩阵 例4证明:若实二次型f(x1,…,xn)= 了分4x中某一个平方项ax2的系数 ≤0,则f(x1,…,xn)不是正定二次型 证因为存在不全为零的n个实数x1=0,…,x1=0,x=1,x1=0,…,x=0, 使f(0,…0,1,0,…,0)=a≤0,所以由定义知f不是正定的二次型 注意本例给出了非正定二次型的判别条件:二次型中某一平方项的系数小于或等于 零则该二次型非正定;或从二次型的矩阵来看,主对角线上的元素存在小于或等于零的元 素,此矩阵为非正定矩阵但可以举例证明其逆不真就是说即使方阵A的主对角线上的元 素都大于零,也不能保证A一定是正定矩阵如 不是正定矩阵,事实上有1A1=-3 然而容易证明:若A为正定矩阵,则A的主对角线上元素an>0,=1,2,…,n 例5判定二次型f=∑x2 xx属于哪一种类型(正定负定还是半正定 证先用完全平方和公式可把二次型∫化为一些项的平方和形式,再根据二次型正定 的定义来判断 f=x1+x3+…+x2+x1x2+x2x3+…+xn-1x (2x2+2x2+…+2x2+2x1x2+2x2x3+…+2x2-1xn) 1[x2+(x1+x2)2+(x2+x3)2+…+(xn1+xn)2+x2]≥0 若f=0,则有x1=0,x1+x2=0,x2+x3=0,…,xn1+xn=0,x,=0,即有x =x2=…=xn=0;所以,对任意的非零向量x=(x1,x2,…,xn),总有f>0,依定义 知f是正定的