线性代数重点难点30讲 二次型的正定性除了用定义外还常用下面的充要条件来判别 设二次型f(x,…,xn)=xAx,则下列命题等价 (1)A为正定矩阵,即f为正定二次型 (2)A合同于单位矩阵E,即f(x1…,x)的正惯性指数为n,其规范形为 (3)A的特征值全大于零即存在正交矩阵Q,使 2 AQ=QAQ >0(i=1,2,…,n) A (4)A的所有顺序主子式全大于零 (5)存在可逆矩阵P使A=PTP 例6实二次型f(x1,…,xn)=x2Ax为正定的充要条件是() (A)|A|>0 (B)存在n阶可逆矩阵C,使A=CC; (C)负惯性指数为零;(D)对某一x=(x1,…,x,)≠0,有xAx>0. 解(A),(C),(D)均只是∫正定的必要条件,但不是充分条件,对任意x≠0,C为可 逆矩阵故Cx≠0,从而f=xAx=x2CCx=(Cx)Cx>0,说明∫是正定的,故(B) 为正确答案 例7n阶实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是( (A)所有k级子式为正(k=1,2,…,n);(B)A的所有特征值非负; (C)A-1为正定矩阵; (D)秩(A)=n 解(A)是充分但非必要条件,(B)、(D)是必要而非充分条件,只有(C)为正确选项 事实上设A的特征值为A,…,入,则A的特征x,因A1正定,故>0(i =1,2,,n),从而A>0(i=1,2,…,n),即A正定 注:由本例知.A正定曰A1正定,由例1知A正定kA(k>0)正定,从而得A正定 A=1A1A·正定 例8设A正定,试证A”也正定(m为正整数) 证由于A为正定矩阵,则A"是可逆实对称矩阵,当m=2k时,A"=A2=AEA (A)EA,可见A与单位矩阵E合同,即A"为正定矩阵;当m=2k+1时,Am A2=(A2)A(A4),由此知A"与A合同,又已知A与E合同,所以A"与E合同,即A 是正定矩阵(这里,多次用到了上述等价命题) 例9设A为n阶实对称矩阵,且A3-3A2+5A-3E=O,证明A正定 证只要证明A的全部特征值大于零.设是A的任一特征值,对应特征向量为x≠0