第30讲判定二次型及其矩阵正定性的方法与技巧 185· 即Ax=x,代人已知等式A3-3A2+5A-3E=O,得 (A3-3A2+5A-3E)x=(x3-32+5A-3)x=0, 因x≠0,故λ满足A3-32+5A-3=0.解得入=1或入=1±2i因A为实对称矩阵 其特征值一定为实数,故只有λ=1,即A的全部特征值就是λ=1>0,这就证明了A是 正定矩阵 例10设A是n阶正定矩阵,E是n阶单位矩阵,证明E+A的行列式大于1 证法1因为A为正定矩阵,不妨设A的特征值分别为A1,A2,…,,且λ>0,;=1, 2,…,n,则A+E的特征值分别为λ1+1,A2+1,…,An+1且有λ+1>1(i=1,2,…, n),从而有 1A+E1=(x1+1)(x2+1)-(xn+1)>1 证法2因A是正定矩阵,故存在正交矩阵Q,使 QAQ=QAQ= 其中入>0(i=1,2,…,n)是A的特征值,因此 λ2+1 a= Q Q,于是A+E=Q 入+ 从而有 A2+1 I A+EI=IQI I QI =(A1+1)(2+1)…(An+1)> 例11试指出二次曲面x2+(2+)y2+Ax2+2xy-2x-y2=5中参数λ取什么 值时,该曲面为椭球面 解问题是当λ取何值时二次型∫=x2+(2+)y2+kx2+2xy-2x-y为正定 的.它所对应的矩阵为 12+A