几何中向量的概念正是它们的抽象但是，还有不少东西用三个数来刻画是不够的，如一个n元方程组的 解是由n个数组成的，而这n个数作为方程组的解是 个整体，分开来谈是没有意义的在几何上这样的 例子也是不少的.为了刻画一个球的大小和位置需要知道它中心的坐标（三个数）以及它的半径也就是 说，球的大小和位置需要4个数来刻画至于一个刚体的位置的确定就需要6个数了事实上，如果我们在 刚体中取定一个点以及过这一点的一根轴那么刚体的位置就决定于这一点的坐标（三个数）.轴的方向 (两个数一它的方向余弦中的两个)，以及刚体绕这根轴转动的角度（一个数）.在国民经济的问题中，我 们也会碰到这种情况臂如一个工厂生产好几种产品，那么为了说明这个工厂的产量，就需要同时指出 每种产品的产量，又如一个工厂的原料是来自好多地方，于是一个原料的采购计划就需要同时指出从每 个原料产地的采购量总之，这样的例子是举不胜举的，作为它们的一个共同的抽象，我们就有 定义2所谓数域P上一个n维向量就是由数域P中n个数组成的有序数组 (a,a,.,an,b). a,称为向量(1)的分量 几何上的向量可以认为是它的特殊情形，即n=2,3且P为实数域的情形.在n>3时，n维向量就 没有直观的几何意义了我们所以仍然称它为向量，一方面固然是由于它包括通常的向量作为特殊情形 另一方面也由于它与通常的向量确有许多性质是共同的，因而采取这样一个几何的名词有好处 以后我们用小写希腊字母α，B,y,.来代表向量 定义3如果n维向量a=(a,a,.,an),B=(亿，b,.,bn)的对应分量都相等，即 a=b(0=12,., 就称这两个向量是相等的，记作《=B. n维向量之间的基本关系是用向量的加法和数量乘法表达的。 定义4向量 y=(a+h,42+b2,.,an+b） 称为向量 a=(a,4,.,an),B=(h,b,.,bn) 的和，记为y=a+B 由定义立即推出 交换律： a+B=B+a 结合律： a+(B+y)=(a+)+y 定义5分量全为零的向量几何中向量的概念正是它们的抽象.但是,还有不少东西用三个数来刻画是不够的,如一个 n 元方程组的 解是由 n 个数组成的,而这 n 个数作为方程组的解是一个整体,分开来谈是没有意义的.在几何上这样的 例子也是不少的.为了刻画一个球的大小和位置,需要知道它中心的坐标(三个数)以及它的半径,也就是 说,球的大小和位置需要 4 个数来刻画.至于一个刚体的位置的确定就需要6 个数了.事实上,如果我们在 刚体中取定一个点以及过这一点的一根轴,那么刚体的位置就决定于这一点的坐标(三个数),轴的方向 (两个数-它的方向余弦中的两个),以及刚体绕这根轴转动的角度(一个数).在国民经济的问题中,我 们也会碰到这种情况.臂如一个工厂生产好几种产品,那么为了说明这个工厂的产量,就需要同时指出 每种产品的产量;又如一个工厂的原料是来自好多地方,于是一个原料的采购计划就需要同时指出从每 个原料产地的采购量.总之,这样的例子是举不胜举的,作为它们的一个共同的抽象,我们就有 定义 2 所谓数域 P 上一个 n 维向量就是由数域 P 中 n 个数组成的有序数组 1 2 ( , , , , ) n a a a b , (1) i a 称为向量(1)的分量. 几何上的向量可以认为是它的特殊情形,即 n = 2,3 且 P 为实数域的情形.在 n  3 时, n 维向量就 没有直观的几何意义了.我们所以仍然称它为向量,一方面固然是由于它包括通常的向量作为特殊情形, 另一方面也由于它与通常的向量确有许多性质是共同的,因而采取这样一个几何的名词有好处. 以后我们用小写希腊字母    , , , 来代表向量. 定义 3 如果 n 维向量 1 2 ( , , , ), n   = = a a a 1 2 ( , , , ) n b b b 的对应分量都相等,即 ( 1,2, , ) i i a b i n = = 就称这两个向量是相等的,记作   = . n 维向量之间的基本关系是用向量的加法和数量乘法表达的. 定义 4 向量 1 1 2 2 ( , , , ) n n  = + + + a b a b a b 称为向量 1 2 ( , , , ), n   = = a a a 1 2 ( , , , ) n b b b 的和，记为    = + . 由定义立即推出 交换律：   + = +   . (2) 结合律：    + + ( ) = + + ( )    (3) 定义 5 分量全为零的向量