中间值定理 定理3.4.4若函数f(x)在闭区间[ab上连续,则它一定能取到 最大值M=max{f(x)x∈[a,b]}和最小值m=min{f(x)x∈[a,b]}之间的任 何一个值。 证由最值定理,存在ξ,n∈[a,b,使得 f(5)=m,f()=M。 不妨设ξ<η,对任何一个中间值C,m<C<M,考察辅助函数 p(x)=f(x)C 因为o(x)在闭区间[,刀上连续,(2)=f()-C<0, o(m)=f(m)-C>0,由零点存在定理,必有s∈(,m),使得 q()=0 (G)=C 证毕 推论若函数f(x)在闭区间[ab上连续,m是最小值,M是最大 值,则f(x)的值域是闭区间 R=[m MI推论 若函数 f (x) 在闭区间[a,b]上连续，m是最小值，M是最大 值，则 f (x) 的值域是闭区间 [ . ] R m M f = 。 中间值定理 定理3.4.4 若函数 f (x) 在闭区间[a,b]上连续，则它一定能取到 最大值M = max { ( ) | [ , ]} f x x a b  和最小值m = min { ( ) | [ , ]} f x x a b  之间的任 何一个值。 证 由最值定理，存在 ,  [a,b]，使得 f m ( )  = ， f M ( )  = 。 不妨设   ，对任何一个中间值C m C M ,   ，考察辅助函数 ( ) ( ) x f x C = − 。 因为( ) x 在闭区间[ , ]   上连续，   ( ) ( ) 0 = −  f C ，    ( ) ( ) 0 = −  f C ，由零点存在定理，必有   ( , )，使得  ( ) 0 = ， 即 f C ( )  = 。 证毕