第36讲罗比塔法则 115 例11求lim(2 arc tanT)2 解当x 时 ,arc tan. x2=mmnx→1,可见原式是I型 原式=em),当x→+∞时,这是0·∞型再将它写成一的形 式,显然,当x→+∞时,它是。型,这时利用罗比塔法则,可得 丌1+ arctan arctan li im (1+r'acrtanx 1+1arc=-2 li ∴原式=e 例12求lmvn 解这是一个∞°型不定式把它化成一型.原式= lim e n=em。”, 注意Iim虽然是型,但不能直接使用罗比塔法则因为n是正整数,不是连续变 量,不能求导应先将n换成连续自变量x,再使用法则,得 1 =0,从而,Jmmn=0,原式=e=1,即limn=1. 例13求hn1n(1十x+x2)+1n(1-x+x2) sect cosC 解原式=lm(+x)2-x =lim In(1 +x2+r) cosT ( cosx cosT lim cosx In(1+r+r2]=limcosx lim I+I' SIn T 注意倒数第二步使用了等价无穷小替换:inx~x,ln(1+x)~x(x→0),0型极 限实质上是求分子、分母两个无穷小的商的极限,而罗比塔法则的本质是使分子、分母的无 穷小的阶数都同时降低一阶,如x5是5阶无穷小,它的导数5x是4阶无穷小如果分子、分 母的无穷小阶数比较高,那就要多次施行罗比塔法则,这样就不方便了因此往往尽量先用 等价无穷小代替后,当无法判断无穷小的阶数时才用罗比塔法则 cosx+a Sint sinT 例14求lim (e'-en)cosT 型,u=x-2 cos u+i+usin u+isin/u+ 解原式 (e"+i-ei)'cos(u+