1392 工程科学学报，第43卷，第10期 ■W1L-1R2=0.973 5.0 ·WL-2R2-=0.977 配筋率作用下，对于极限荷载作用下的裂缝扩展 将产生不同的影响，裂缝的扩展及分布具有不同 4.5 WL-5A WL-6R 的形态，进而使分形维数也产生较大的差异性，规 律性较小，在今后有待深入探究 4。WL-9R2-0.976 4.5分形维数与分级荷载间的关系 3.5 基于无腹筋混凝土梁不论在分级荷载作用下 3.0 还是极限荷载作用下都具有分形特征，通过表4， 2234363840424446485052 建立分形维数D与分级荷载F之间的联系 In(/L) 如图12和图13所示，基于两种不同变量作用 图8极限荷载下梁表面的lnN(L-n(1L)图 下的荷载-分形维数的曲线呈现较好的对数关系， Fig.8 InNL)-In(1/L)diagram of the beam surface under ultimate load 其拟合的数学方程如式2，k和m为参数，数值如表5 所示.1为试验梁剪跨比，P为纵筋配筋率 --D 1.4 D=kaln(F)+mp (2) 1.2 1.0 当荷载按照规范依次增加，分形维数也不断 目0.8 增加，且在不同荷载等级下，不同剪跨比及纵筋配 0.6 筋率作用下，荷载-分形维数拟合曲线呈现出不同 的分布形态.如图13所示，在无腹筋混凝土梁表 0.2 面裂缝的荷载-分形维数曲线的曲率随着剪跨比 的增大逐渐减小.这是在没有腹筋作用情况下，由 WL-I WL-2 WL-3 WL4 WL-5 WL6 WL-7 WL-8 WL-9 Beam number 于剪跨比在一定程度反映截面弯矩与剪力的相对 图9极限荷载作用下梁的分形维数 比值，它对无腹筋梁的斜截面受剪破坏具有决定 Fig.9 Fractal dimension of the beam under ultimate load 性的影响，剪跨比越小，无腹筋梁的承载力越高， (a) (b) WL-5 (c) WL-4 1.360 360 1.46 1.355 WL-8 350 1.44 1.350 1.42 1.40 1.345 7 1.330 19 WL-9 185 WL-1 140 105 3 Ultimate load/kN 175 95 165 155 ate load/kN 85 75 图10相同剪跨比、不同纵筋配筋率作用下的极限荷载与分形维数间的关系.(a)2=1.5:(b)2=2:(c)入=2.5 Fig.10 Relationship between ultimate load and fractal dimension under the same shear span ratio and different longitudinal reinforcement ratios:(a)A= 1.5,(b)1=2,(c)1=2.5 (a) (b) (e) WL-I WL-8 38 WL-3 1.355 WL-6 1.46 WL-4 1.42 1.40 WL-7 1330 1.38 .325 320 160 WL-2 318 180 WL-5 200 160 140 100 B 80 Ultimate load/kN 80 图11相同纵筋配筋率、不同剪跨比作用下的极限荷载与分形维数间的关系.(a)p=1.28%:(b)p=1.62%:(c)p=1.99% Fig.11 Relationship between ultimate load and fractal dimension under the same longitudinal reinforcement ratio and different shear span ratios:(a)p= 1.28%:(b)p=1.62%:(c)p=1.999%配筋率作用下，对于极限荷载作用下的裂缝扩展 将产生不同的影响，裂缝的扩展及分布具有不同 的形态，进而使分形维数也产生较大的差异性，规 律性较小，在今后有待深入探究. 4.5    分形维数与分级荷载间的关系 基于无腹筋混凝土梁不论在分级荷载作用下 还是极限荷载作用下都具有分形特征，通过表 4， 建立分形维数 D 与分级荷载 F 之间的联系. 如图 12 和图 13 所示，基于两种不同变量作用 下的荷载–分形维数的曲线呈现较好的对数关系， 其拟合的数学方程如式 2，k 和 m 为参数，数值如表 5 所示. λ 为试验梁剪跨比，ρ 为纵筋配筋率. D = kλln(F)+mρ （2） 当荷载按照规范依次增加，分形维数也不断 增加，且在不同荷载等级下，不同剪跨比及纵筋配 筋率作用下，荷载–分形维数拟合曲线呈现出不同 的分布形态. 如图 13 所示，在无腹筋混凝土梁表 面裂缝的荷载–分形维数曲线的曲率随着剪跨比 的增大逐渐减小. 这是在没有腹筋作用情况下，由 于剪跨比在一定程度反映截面弯矩与剪力的相对 比值，它对无腹筋梁的斜截面受剪破坏具有决定 性的影响，剪跨比越小，无腹筋梁的承载力越高， WL-1 B B WL-4 WL-5 WL-6 WL-9 WL-3 WL-8 WL-2 WL-7 175 185 165 155 120 130 140 110 100 75 85 95 105 1.360 1.355 1.350 1.345 1.340 1.335 1.330 1.360 1.355 1.350 1.345 1.340 1.335 1.320 1.325 1.330 1.315 Fractal dimension Fractal dimension Fractal dimension Ultimate load/kN Ultimate load/kN Ultimate load/kN 1.46 1.44 1.42 1.40 1.38 1.36 1.34 1.32 (a) (b) (c) 图 10    相同剪跨比、不同纵筋配筋率作用下的极限荷载与分形维数间的关系. （a）λ = 1.5；（b）λ = 2；（c）λ = 2.5 Fig.10    Relationship between ultimate load and fractal dimension under the same shear span ratio and different longitudinal reinforcement ratios: (a) λ = 1.5, (b) λ = 2, (c) λ = 2.5 160 140 120 Ultimate load/kN Fractal dimension Fractal dimension Fractal dimension 100 80 160 180 140 120 Ultimate load/kN Ultimate load/kN 100 160 180 200 140120100 80 WL-1 WL-3 WL-2 WL-4 WL-6 WL-5 WL-7 WL-8 WL-9 B B B 1.338 1.46 1.44 1.42 1.40 1.38 1.36 1.34 1.336 1.334 1.332 1.330 1.328 1.326 1.324 1.322 1.320 1.318 1.355 1.350 1.345 1.340 1.335 1.330 1.325 1.320 (a) (b) (c) 图 11    相同纵筋配筋率、不同剪跨比作用下的极限荷载与分形维数间的关系. （a）ρ = 1.28%；（b）ρ = 1.62%；（c）ρ = 1.99% Fig.11    Relationship between ultimate load and fractal dimension under the same longitudinal reinforcement ratio and different shear span ratios: (a) ρ = 1.28%; (b) ρ = 1.62%; (c) ρ = 1.99% 5.0 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 lnN(L) ln(1/L) WL-1 R 2=0.973 WL-2 R 2=0.977 WL-3 R 2=0.976 WL-4 R 2=0.957 WL-5 R 2=0.977 WL-6 R 2=0.971 WL-7 R 2=0.954 WL-8 R 2=0.981 WL-9 R 2=0.976 图 8    极限荷载下梁表面的 lnN(L)–ln(1/L) 图 Fig.8    lnN(L)–ln(1/L) diagram of the beam surface under ultimate load 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 WL-1 WL-2 WL-3 WL-4 WL-5 Beam number WL-6 WL-7 WL-8 WL-9 Fractal dimension D 图 9    极限荷载作用下梁的分形维数 Fig.9    Fractal dimension of the beam under ultimate load · 1392 · 工程科学学报，第 43 卷，第 10 期