管健龙等：冷轧带钢局部高点卷取过程起筋控制的建模与仿真 ·1085· 建立了可用于在线计算的卷取应力和起筋量模型.在 (o,-g,)2+(o:-g)2+(g.-o,)2+6r2=2o 此基础上，基于应力函数假设和S.Timoshenko最小功 (4) 原理获得了起筋带钢的应力场分布，并采用伽辽金虚 式中，σ，为带钢的屈服强度 位移法建立了可用于在线计算的起筋临界卷取张力设 钢卷在卷取过程中，外层带钢压力使内层带钢产 定模型，为起筋在线控制提供了理论依据 生周向压缩变形。，引起的带钢张力消失可表示为网 0g=00-0 (5) 式中，0。为带钢卷取张力轴向分布，o:为卷取n圈时 第圈带钢的实际周向张力. 1.3带钢塑性流动因子的引入 带钢卷取过程中，除局部高点外的大部分区域，带 钢的塑性流动是极其有限的.但是，在局部高点附近， 由于局部高点累积叠加，引起径向和轴向应力不均匀 分布，并形成金属塑性流动.因此，带钢起筋中部与边 部横向流动差异较大.为了对带钢塑性流动状态进行 描述，本文引入塑性流动因子的表述，定义带钢塑性流 图1起筋现象 动因子为 Fig.1 Phenomenon of ridge-buckle defects K=e;leo (6) 根据体积不变原理，有： 1带钢卷取时应力和起筋量解析模型 e,+e。+e:=0. (7) 1.1带钢轴对称变形的几何方程和平衡方程 式中，e为轴向应变偏张量，e。为周向应变偏张量，e,为 钢卷可以看成是轴对称的各向异性体，即带钢的 径向应变偏张量 应变、应力分布与极角无关.带钢卷取时柱坐标下的 应变偏张量与应力偏张量间的关系为 的应变一位移几何方程及力的平衡微分方程可以 e. e =入. 表示为 20,-,-020.-,-020.-0,-0 (8) ir'6o=u e,- 将式(6)和式(7)代入式(8)，即可得出钢卷轴向、周向 (1) 正'su 5.= 和径向应力偏张量间的关系： dz ar (2K+1)g+(1-K)g,=(2+K)g,(9) g+m+,-0=0, 将式(9)代入弹塑性物理方程中，从而将带钢塑 ar dz r 性流动条件合理地引入差分计算.使用克莱姆 (2) ++2=0 (Cramer)法则求解线性方程组，即可得到钢卷各单元 az ar 应力与应变的关系，其中M,~M,为线性方程组系数： 式中，e,。e:和y分别为钢卷径向应变、周向应变、 「o,=M1e,+M2ea+M28:, 轴向应变和剪应变，u为径向位移，w为轴向位移，σ，、 g,(z)=-M28,-M1e。-M2e.-M3oo, σ：0：和T,分别为钢卷径向应力、周向应力、轴向应力 (10) g.=M2e,+M2e。+M1ea, 和剪应力. LT=Mayr 1.2带钢轴对称变形的物理方程 1.4带钢厚度与钢卷半径轴向分布模型 钢卷弹塑性本构关系的张量形式可以表示为 带钢在宽度方向存在局部高点或厚差，因此厚度 ey=e。+eg=-2n E O+AS (3) 分布可以通过带钢凸度和局部高点描述切： h(z)=h(z)+y(z). (11) 式中，E为带钢弹性模量，v为泊松比，e,为应变球张 其中，带钢凸度和局部高点的轴向厚度分布函数分 量，om为应力球张量，δ为单位球张量，e,为应变偏张 别为 量，S为应力偏张量，8：和σ：分别为应变强度和应力强 度，入为应变偏量与应力偏量间的比例系数.对于弹 k)=九{-6(g)]+6号+6号} 性变形，A=12G,G为剪切弹性模量；对于弹塑性变 (12) 形，比例系数入与位置及载荷水平有关，入=3ε：2σ Y(2)=Ko+KX,+K2. (13) 带钢的弹塑性判定采用Mse屈服条件： 式中，h。表示带钢中部厚度，b为带钢半宽，c、coc和管健龙等: 冷轧带钢局部高点卷取过程起筋控制的建模与仿真 建立了可用于在线计算的卷取应力和起筋量模型． 在 此基础上，基于应力函数假设和 S． Timoshenko 最小功 原理获得了起筋带钢的应力场分布，并采用伽辽金虚 位移法建立了可用于在线计算的起筋临界卷取张力设 定模型，为起筋在线控制提供了理论依据． 图 1 起筋现象 Fig． 1 Phenomenon of ridge-buckle defects 1 带钢卷取时应力和起筋量解析模型 1. 1 带钢轴对称变形的几何方程和平衡方程 钢卷可以看成是轴对称的各向异性体，即带钢的 应变、应力分布与极角无关． 带钢卷取时柱坐标下的 的应变--位移几何方程及力的平衡微分方程［4 － 5］可以 表示为: εr = u r ，εθ = u r ， εz = w z ，γzr = u z + w r { ． ( 1) σr r + τzr z + σr － σi r = 0， σz z + τzr r + τzr r { = 0． ( 2) 式中，εr、εθ、εz 和 γzr分别为钢卷径向应变、周向应变、 轴向应变和剪应变，u 为径向位移，w 为轴向位移，σr、 σi、σz 和 τzr分别为钢卷径向应力、周向应力、轴向应力 和剪应力． 1. 2 带钢轴对称变形的物理方程 钢卷弹塑性本构关系的张量形式可以表示为 εij = εii + eij = 1 － 2v E σm δij + λSij． ( 3) 式中，E 为带钢弹性模量，v 为泊松比，εij 为应变球张 量，σm 为应力球张量，δij为单位球张量，eij为应变偏张 量，Sij为应力偏张量，εi和 σi分别为应变强度和应力强 度，λ 为应变偏量与应力偏量间的比例系数． 对于弹 性变形，λ = 1 /2G，G 为剪切弹性模量; 对于弹塑性变 形，比例系数 λ 与位置及载荷水平有关，λ = 3εi /2σi ． 带钢的弹塑性判定采用 Mise 屈服条件: ( σr － σi ) 2 + ( σi － σz ) 2 + ( σz － σr ) 2 + 6τ 2 zr = 2σ2 s ． ( 4) 式中，σs 为带钢的屈服强度． 钢卷在卷取过程中，外层带钢压力使内层带钢产 生周向压缩变形 εθ，引起的带钢张力消失可表示为［6］ σθ = σ0 － σi ． ( 5) 式中，σ0 为带钢卷取张力轴向分布，σi 为卷取 n 圈时 第 i 圈带钢的实际周向张力． 1. 3 带钢塑性流动因子的引入 带钢卷取过程中，除局部高点外的大部分区域，带 钢的塑性流动是极其有限的． 但是，在局部高点附近， 由于局部高点累积叠加，引起径向和轴向应力不均匀 分布，并形成金属塑性流动． 因此，带钢起筋中部与边 部横向流动差异较大． 为了对带钢塑性流动状态进行 描述，本文引入塑性流动因子的表述，定义带钢塑性流 动因子为 K = ez / eθ ． ( 6) 根据体积不变原理，有: er + eθ + ez = 0． ( 7) 式中，ez为轴向应变偏张量，eθ为周向应变偏张量，er为 径向应变偏张量． 应变偏张量与应力偏张量间的关系为 er 2σr － σi － σz = eθ 2σi － σr － σz = ez 2σz － σr － σi = λ． ( 8) 将式( 6) 和式( 7) 代入式( 8) ，即可得出钢卷轴向、周向 和径向应力偏张量间的关系: ( 2K + 1) σi + ( 1 － K) σr = ( 2 + K) σz ( 9) 将式( 9) 代入弹塑性物理方程中，从而将带钢塑 性流动条件合理地引入差分计算． 使 用 克 莱 姆 ( Cramer) 法则求解线性方程组，即可得到钢卷各单元 应力与应变的关系，其中 M1 ～ M4为线性方程组系数: σr = M1εr + M2εθ + M2εz， σi ( z) = － M2εr － M1εθ － M2εz － M3σ0， σz = M2εr + M2εθ + M1εz， τzr = M4γzr      ． ( 10) 1. 4 带钢厚度与钢卷半径轴向分布模型 带钢在宽度方向存在局部高点或厚差，因此厚度 分布可以通过带钢凸度和局部高点描述［7］: h( z) = hw ( z) + Yr ( z) ． ( 11) 其中，带钢凸度和局部高点的轴向厚度分布函数分 别为 hw ( z) = h0 { [ 1 － c0 ( | z| ) b ] c + c1 | z| b + c2 | z| b } 2 ， ( 12) Yr ( z) = χ0 + χ1Xr + χ2X2 r ． ( 13) 式中，h0 表示带钢中部厚度，b 为带钢半宽，c、c0、c1 和 · 5801 ·