·1086· 工程科学学报，第37卷，第8期 c2为带钢凸度轮廓系数，X,为起筋宽度系数X。X和 (开始 X2为局部高点轮廓系数 钢卷半径轴向分布可以通过下式计算圆： 输入计算参数和相关系数 r (2)=r(2)+h(a)+1(a). (14) 根据卷取层数划分网格， 式中，ln(z)为钢卷层间间隙，ln（z)=l。e,l。为钢卷 设定径向、轴向节点数m,n 最外层带钢的层间间隙，w为径向压缩系数，P为层间 根据比例系数入、塑性流动因数K和厚度 径向压力. 分布计算各节点弹塑性差分方程系数 径向位移u和轴向位移w可以用变量为r和z的 函数表示.设u=∫(r,z)和w=((r,z),则径向与轴 计算边界差分方程系数，形成整体方程系数 矩阵R,LU分解法求解线性方程组RX=b 向位移的各阶差分方程可以表示为∫(r,z)和g(r,) 的形式.将式(1)、式(2)、式(11)、式(14)和位移差分 计算得出径向位移、 方程代入式(10)中，这样，在钢卷内部就得到了用两 轴向位移 个位移函数表示的差分方程，它包括了平衡条件、物理 修正 代入应力差分方程计算 方程和几何方程： .Ar 应力，由物理方程得出应变 Sti-Sfj++ss (+f)+ 厂 S6(gw1-w-i）+S,(g1+6i-l-1- 根据各节点应力 根据各节点应变 5-1-5i）-S,=0, 反算入、人 反算ra △<？△Ke? 、否 Li1+f--1-f-1-fi）+L21- △reE？ f-）+L,(G1+5-i）+L51+ L55-1-L6=0. 输出结果 (15) (结束 式中，S和L为差分方程系数，∫(r,z)和((r,z)分别 图2模型计算流程 为钢卷径向和轴向位移函数. Fig.2 Calculation process of the coiling strip stress model 2卷取应力与起筋量解析模型的仿真研究 引起径向和周向应力集中四，是导致等效应力骤增的 2.1卷取应力与起筋量模型的计算流程 主要原因.钢卷各层带钢等效应力随卷径增加先减小 卷取应力与起筋量模型的计算流程见图2.首先 后增大，在钢卷最外层达到最大值.因此，钢卷最外层 对钢卷进行网格划分，设定径向和轴向节点数分别为 带钢最容易产生起筋现象，若钢卷最外层带钢没有发 m和n,假定比例系数入和塑性流动因子K,形成整体 生起筋现象，则钢卷内部各层带钢均不会起筋. 方程系数矩阵.通过LU分解法求解线性方程组，得出 2.3各模型参数与起筋量间的关系 径向位移“和轴向位移，并代入卷取应力差分方程 基于数学仿真软件Mathematica,针对表I所示的 和物理方程，求出各节点的应力和应变，循环迭代修正 工况参数，分别对卷径为300~900mm,带钢厚度 各节点比例系数、塑性流动因子和卷径轴向分布. 0.5~1.0mm,局部高点高度为3~10um,卷取张力为 2.2起筋钢卷的应力场分布 20~50MPa的钢卷进行起筋量计算，计算结果如图4 针对表1所示的工况参数，对起筋钢卷的应力场 所示.从图4中可以看出，起筋量随局部高点高度、卷 分布进行仿真计算，结果如图3所示 径和卷取张力增加而增大，薄的带钢比厚带钢起筋量 增幅更加明显。因此，解决起筋问题最根本的还是要 表1模型计算参数 控制带钢的局部高点 Table 1 Calculated parameters 参数尺寸 3 数值 参数尺寸 数值 起筋临界卷取张力解析模型 钢卷内外径/mm 300/900 带钢宽度/mm 1000 在卷取过程中，由于钢卷的最外层带钢最容易产 卷取张力/MPa 30 带钢厚度/mm 0.5 生起筋现象，因此对于起筋临界卷取张力的求解，可以 弹性模量/GPa 205 局部高点/μm 5 简化为对钢卷最外层带钢屈曲临界张力的求解过程. 泊松比 0.3 高点位置 带钢中部 3.1起筋带钢挠度函数 由于起筋挠度沿带钢宽度方向急剧变化，因此在 由图3可以看出，局部高点在钢卷径向累积叠加， 宽度方向引入Hermitean多项式作为衰减函数，根据现工程科学学报，第 37 卷，第 8 期 c2 为带钢凸度轮廓系数，Xr 为起筋宽度系数，χ0、χ1 和 χ2 为局部高点轮廓系数． 钢卷半径轴向分布可以通过下式计算［8］: rn ( z) = rn － 1 ( z) + h( z) + ln ( z) ． ( 14) 式中，ln ( z) 为钢卷层间间隙，ln ( z) = l0 e － ωp ，l0 为钢卷 最外层带钢的层间间隙，ω 为径向压缩系数，p 为层间 径向压力． 径向位移 u 和轴向位移 w 可以用变量为 r 和 z 的 函数表示． 设 u = f ( r，z) 和 w = ζ( r，z) ，则径向与轴 向位移的各阶差分方程可以表示为 f ( r，z) 和 ζ ( r，z) 的形式． 将式( 1) 、式( 2) 、式( 11) 、式( 14) 和位移差分 方程代入式( 10) 中，这样，在钢卷内部就得到了用两 个位移函数表示的差分方程，它包括了平衡条件、物理 方程和几何方程: S1 fi － 1，j － S2 fi，j + S3 fi + 1，j + S5 ( fi，j + 1 + fi，j － 1 ) + S6 ( ζi，j + 1 － ζi，j － 1 ) + S4 ( ζi + 1，j + 1 + ζi － 1，j － 1 － ζi + 1，j － 1 － ζi － 1，j + 1 ) － S7 σ0 r = 0， L1 ( fi + 1，j + 1 + fi － 1，j － 1 － fi + 1，j － 1 － fi － 1，j + 1 ) + L2 ( fi，j + 1 － fi，j － 1 ) + L3 ( ζi，j + 1 + ζi，j － 1 ) + L4 ζi + 1，j + L5 ζi － 1，j － L6 ζi，j = 0            ． ( 15) 式中，S 和 L 为差分方程系数，f ( r，z) 和 ζ ( r，z) 分别 为钢卷径向和轴向位移函数． 2 卷取应力与起筋量解析模型的仿真研究 2. 1 卷取应力与起筋量模型的计算流程 卷取应力与起筋量模型的计算流程见图 2． 首先 对钢卷进行网格划分，设定径向和轴向节点数分别为 m 和 n，假定比例系数 λ 和塑性流动因子 K，形成整体 方程系数矩阵． 通过 LU 分解法求解线性方程组，得出 径向位移 u 和轴向位移 w，并代入卷取应力差分方程 和物理方程，求出各节点的应力和应变，循环迭代修正 各节点比例系数、塑性流动因子和卷径轴向分布． 2. 2 起筋钢卷的应力场分布 针对表 1 所示的工况参数，对起筋钢卷的应力场 分布进行仿真计算，结果如图 3 所示． 表 1 模型计算参数 Table 1 Calculated parameters 参数尺寸 数值 参数尺寸 数值 钢卷内外径/mm 300 /900 带钢宽度/mm 1000 卷取张力/MPa 30 带钢厚度/mm 0. 5 弹性模量/GPa 205 局部高点/μm 5 泊松比 0. 3 高点位置 带钢中部 由图 3 可以看出，局部高点在钢卷径向累积叠加， 图 2 模型计算流程 Fig． 2 Calculation process of the coiling strip stress model 引起径向和周向应力集中［9］，是导致等效应力骤增的 主要原因． 钢卷各层带钢等效应力随卷径增加先减小 后增大，在钢卷最外层达到最大值． 因此，钢卷最外层 带钢最容易产生起筋现象，若钢卷最外层带钢没有发 生起筋现象，则钢卷内部各层带钢均不会起筋． 2. 3 各模型参数与起筋量间的关系 基于数学仿真软件 Mathematica，针对表 1 所示的 工况参 数，分 别 对 卷 径 为 300 ～ 900 mm，带 钢 厚 度 0. 5 ～ 1. 0 mm，局部高点高度为 3 ～ 10 μm，卷取张力为 20 ～ 50 MPa 的钢卷进行起筋量计算，计算结果如图 4 所示． 从图 4 中可以看出，起筋量随局部高点高度、卷 径和卷取张力增加而增大，薄的带钢比厚带钢起筋量 增幅更加明显． 因此，解决起筋问题最根本的还是要 控制带钢的局部高点． 3 起筋临界卷取张力解析模型 在卷取过程中，由于钢卷的最外层带钢最容易产 生起筋现象，因此对于起筋临界卷取张力的求解，可以 简化为对钢卷最外层带钢屈曲临界张力的求解过程． 3. 1 起筋带钢挠度函数 由于起筋挠度沿带钢宽度方向急剧变化，因此在 宽度方向引入 Hermitean 多项式作为衰减函数，根据现 · 6801 ·