810.16函数 作为δ函数的物理背景,先讨论点源、例如点电荷的电荷分布密度函数的数学表示.为 简单起见,主要讨论一维情形 图10.1单位点电荷的电荷密度 如图10.1,设在无穷直线上0<x<l区间内有均匀的电荷分布,总电量为1个单位,在区间 外无电荷,则电荷密度函数为 <x< 对于任意一个在-/2<x<l/2内连续的函数∫(x),根据中值定理,有 f(x)61(x)dx=f(1),-1/2≤6≤1/2 实际上,积分限不一定是±∞.只要a<-1/2,b>1/2,就有 f(x)6(x)dx=f(6l),-1/2≤6≤1/2. 作为极限情形,当l→0时,就得到点电荷的密度函数,记为 0,当x<0; 当x=0 而且,对于任意一个在x=0点连续的函数f(x),有 f(x)6(x)dx=f(0) 实际上,积分限不一定是±∞.只要a<0,b>0,就有 f(x)6(x)dx=f(0) 显然,还可以把区间内的电荷分布函数修改为其他任意连续函数,再重复上面的讨论 作为它们的极限情形,我们总会得到同样的结果§10.1 δ ✄ ☎ 2 §10.1 δ ❿ ➀ ❈❫ δ ✑✒✎ ✘✙➁➂✔✢➃❭✶❀ ✻ ✸✹✶ ✼✽✎ ✼✽❑➄ ➅➆✑✒✎ ✒ ✚➇➈✕❫ ➉➊➋➌✔➍①➃❭☞➎➏➐✕ ➑ 10.1 ➒➓➔→➣↔→➣↕➙ ➛➜ 10.1 ✔➝➞➟➠➡➢➤ 0 < x < l ➥➦ ➧➨➩➫➭ ➯➲➳➵✔➸ ➯➺➻ 1 ➼➽➾✔➞ ➥➦ ➚➟ ➯➲✔➪ ➯➲➶➹➘➴➻ δl(x) =    0, ➷ x < − l 2 ; 1 l , ➷ − l 2 < x < l 2 ; 0, ➷ x > l 2 . ➬➮➱✃❐➼ ➞ −l/2 < x < l/2 ➧❒❮➭➘➴ f(x) ✔❰Ï ÐÑÒÓ✔➨ Z ∞ −∞ f(x)δl(x)dx = f(θl), −1/2 ≤ θ ≤ 1/2. ÔÕ➤✔Ö➳×Ø❐ ÒÙ ±∞ ✕ÚÛ a < −l/2, b > l/2 ✔Ü➨ Z b a f(x)δ(x)dx = f(θl), −1/2 ≤ θ ≤ 1/2. Ý ➻Þ×ßà✔➷ l → 0 á✔Üâãä ➯➲➭➶➹➘➴✔å➻ δ(x) = lim l→0 δl(x) =    0, ➷ x < 0; ∞, ➷ x = 0; 0, ➷ x > 0. æç✔➬➮➱✃❐➼ ➞ x = 0 ä❒❮➭➘➴ f(x) ✔➨ Z ∞ −∞ f(x)δ(x)dx = f(0). ÔÕ➤✔Ö➳×Ø❐ ÒÙ ±∞ ✕ÚÛ a < 0, b > 0 ✔Ü➨ Z b a f(x)δ(x)dx = f(0). èé✔ê✰ ✱ë ìíî✎ ✼✽❑➄✑✒ïð❫ ❼ñòóôõ✑✒✔ö÷ø❆ ù✎➃❭✕ ❈❫✯❵ ✎❣ú➏➐✔❴❵ûü❳❨ ý❋✎❩❬✕