解设f(x)~+∑( a coS nx+ b sin nx),则 f(x)cos mdo an cos nx+b in n )cos mda ao [a+2r a+2丌 +2丌 cos mdx∑(a cos nx cos mxdx +b sin nx cos mdx) 「"八)mm12+m+如o小m ∫。 sin mxd+∑(aJ。 cos nisin mxd+∫ sin nx sin mxdx) br(m=1,2.), 所以 f(x)cos ndx (n=0,1, 2,) b,=o f(x)sin ndx (n=1, 2, .) 6.将下列函数在指定区间展开成 Fourier级数 (1)f(x)= 兀-x,x∈[O,2x], (2)f(x)=x2,x∈[0,2r] (3)f(x)=x,x∈[0,1 0,x∈[O,1); (5)f(x)= C,x∈[-7,0) (C是常数) 0,x∈[0,7) 解(1)an f(x) cos ndx=0,(n=0,1,2;…) b.=∫/()smnx=1,(n=123…) f∫(x) (2) 。f(x)d =-丌, f(x) cos ndx=,(n=1,2,3…) f∫(x) sin nxdx =1.2.3 f(x)-r2+4y/1 cOs丌、2 sInx。解 设 f x( ) ~ a a nx b n n n n 0 2 1 + + = ∞ ∑( cos sin x)，则 2 2 0 1 ( ) cos ( cos sin ) cos 2 a a n n a a n a f x mxdx a nx b nx mxdx π π ∞ + + = ⎡ ⎤ = + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∑ 2 2 2 0 1 cos ( cos cos sin cos ) 2 a a a n n a a a n a mxdx a nx mxdx b nx mxdx π π π ∞ + + + = = +∑ + ∫ ∫ ∫ m = a π ，( m = 0,1, 2,…), 2 2 0 1 ( )sin ( cos sin ) sin 2 a a n n a a n a f x mxdx a nx b nx mxd π π ∞ + + = ⎡ ⎤ = + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∑ x 2 2 2 0 1 sin ( cos sin sin sin ) 2 a a a n n a a a n a mxdx a nx mxdx b nx mxdx π π π ∞ + + + = = +∑ + ∫ ∫ ∫ m = b π ，( m = 1, 2,…), 所以 an = ∫ + π π 2 ( ) cos 1 a a f x nxdx ( n = 0,1,2,"), bn = ∫ + π π 2 ( )sin 1 a a f x nxdx ( n = 1,2,")。 ⒍ 将下列函数在指定区间展开成 Fourier 级数： ⑴ 2 ( ) x f x − = π , x ∈[0, 2π ]; ⑵ f x( ) = x 2 , x ∈[0, 2π ]; ⑶ f (x) = x , x ∈[ , 0 1]; ⑷ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ − = 0, [0,1); e , [ 1,0), 3 x x x ⑸ f x( ) ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ − = 0, [0, ) , [ ,0), x T C x T (C 是常数). 解（1） n a = 2 0 1 f ( ) x cos nxdx 0 π π = ∫ ，( n = 0,1, 2,"), bn = 2 0 1 f ( ) x n sin xdx π π ∫ 1 n = ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ nx n n sin 1 1 ∑ ∞ = 。 （2） 0 a = 2 2 0 1 8 ( ) 3 f x dx π π π = ∫ ， n a = 2 0 1 f ( ) x n cos xdx π π ∫ 2 4 n = ，( n =1, 2,3,"), bn = 2 0 1 f ( ) x n sin xdx π π ∫ 4 n π = − ，( n =1, 2,3,")。 f x( ) ∼ ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − 1 2 2 cos sin 1 4 3 4 n nx n nx n π π 。 5