第7章群、环和域 证明：因为*在B上是封闭的，所以*是B上的二元运算 。 <B,>是代数系统。Va,b,ceB,由于BcS,所以a,b,ceS,又 由于S,>是半群，所以(a*b)*c=a*(b*c),故<B,*>是半群。 定义7.1.2定理7.1.1中的半群<B,>叫做半群<S,*>的子半 群。 例如，因为QcR且乘法在有理数集上是封闭的，由定理 7.1.1和定义7.1.2，<Q,>是<R,>的子半群，所以<Q,>是半群 类似的可以证明<N,>、<[0,1],>和<(0,1)，>是半群。 定理7.1.2设<S,是半群，S是有限集，则必有aeS,使 得a*a=a 证明：Vb∈S,由*在S上的封闭性知： b2=b*b∈S b3=b2*b∈S第7章 群、环和域 证明：因为*在B上是封闭的，所以*是B上的二元运算。 B,*是代数系统。a,b,cB，由于BS，所以a,b,cS，又 由于S,*是半群，所以(a*b)*c=a*(b*c)，故B, *是半群。 定义7.1.2 定理7.1.1中的半群B, *叫做半群S, *的子半 群。 例如，因为QR且乘法在有理数集上是封闭的，由定理 7.1.1和定义7.1.2，Q,·是R,·的子半群，所以Q,·是半群。 类似的可以证明N,·、[0,1],·和(0,1),·是半群。 定理7.1.2 设S, *是半群，S是有限集，则必有aS，使 得a*a=a 证明：bS，由*在S上的封闭性知： b 2=b*bS b 3=b 2*bS …