证： 如果T是R上的一个分布，p是R上的一个具有紧支撑的C函数，用<T,P>记为 T对p上的作用。既然g是R上紧区间的有界变差函数，那么1/g也是这样；因为1/g是可 测的，且在每个紧子区间是有界的，因此是局部可积的，这样1/g在R上定义了一个分 布。现令D(1/g)是1/g的分布意义下的微分，P是C函数，且其紧支撑含在区间 〔a,b)内，那么由定义知： <D(1/g),p>=-<1/g,p'> 、=-∫.是p(x)dx=-∫片p'）-dx g 对几乎所有的x,有 (1/gp)′=p'/g-g'/g2p 因此 <D(1/g),p>=-∫（是p)'dx =-∫g'1ggdx=-gpdx ,亦即： <D(1/g),P>=<-g'/g2,P> 既然函数-g'/g2是局部可积函数，那么其定义了一个分布，对具有紧支撑的C"函 数p由下式给出 D(1/g)=-g1g2=-,在分布意义下，证毕。 定理1.3设g是实直线R上正实函数，'且为有界变差函数，那么1g定义了一个 分布，lng在此分布下的导数等于局部可知函数（1ng)',其由g/g给出，即： D(Ing)=Dg/g, 对所有x 证：同前定理之证明。 2主要定理 定理2.1设中(s,t)是非负有界变差函数（分别相对s,t),a(s,t)是实值非 负函数；P(s),Q(t)是非负有界变差函数，且为单调增加，b(s,t)为相对于 P(s),Q（t)可积的非负函数，这里(s,t)∈I×I,I=〔0，)，u(s,t)是 I×I上的非负函数，如果有下式成立： u(s,t)≥4(x,y)-a(s,t)∫(m,a)4(m,DP(mDQa) 0≤x≤s<,0≤y≤t< (2.1) 那么有 116证 如果 是 上的一个分布 ， 甲 是 上的一个具有紧支撑 的 ‘ 函数 ， 用 ， 中 记为 对甲上的作角 。 既然 是 上紧区 间的有界 变差 函数 ， 那么 也 是这 样 因为 是可 测 的 ， 且在每个紧子区 间是有界 的 ， 因此 是局部可积的 ， 这 样 在 上定义 了一个分 布 。 现令 是 的分布意 义下 的微分 ， 甲是 ‘ 函数 ， 且其紧支撑含 在 区 间 〔 ， 〕 内 ， 那 么 由定义知 ， 甲 二 一 ， 恻 「“ ， ， ，， 、 」， ， · 「“ 中产 、 一 一 ， － 甲 、 人 户 人 一 一 － 一 。 之 一 对几 乎所有的 ， 有 甲 产 甲‘ 一 ， “ 切 飞 因此 ， 切 一 「 ， 气 － 甲 少 ’ 丁 产 “ 甲 一 “ 一 黑 亦 即 ， 甲 一 ‘ “ ， 一甲 切 既 然 函数 一 产 “ 是局 部可积 函数 ， 数甲由下 式给 出 二 一 ， 那么其定 义 了一个分布 ， 对具 有紧支撑 的 ’ 函 一 嗜黔 ， 在分布意 义下 ， 证毕 。 定理 设 是实直 线 上正 实 函数 ， 且为有界 变差 函数 ， 那么 定 义 了一个 分布 ， 在此分布下 的导 数等于局 部可知 函数 ， 其 由 ‘ 给 出 ， 即 ， 对所有 证 同前定理 之证 明 。 主要定理 定理 设 小 ， 是非 负有界 变差 函数 分别 相对 ， 负函数 ， 是非 负有界 变差 函数 ， 且为单调 增加 ， ， 可积 的非负函 数 ， 这 里 ， 任 又 ， 〔 工 上的非 负函数 ， 如果有下 式 成立 ， ， 是实值非 ， 为 相 对于 二 ， ， 是 弓 ， 小 ， 一 ， 丁丁沙 ， · ，小 ， · ， ‘ ， ‘ · ’ 。 镇 镇 ， 。 簇 《 。 那么 有