第1期 吴珠，等：线性不确定离散时滞系统的鲁棒非脆弱H控制 *67* 是适当维常数矩阵，d是系统状态滞后时间，△A、 文中的目的是：设计系统1)的状态反馈控制器 △A△B1、△B2、△C、△Ca、△D1、△D2为不确定实值 2),使得闭环系统(5)对所有满足F(E,(≤ 矩阵函数，它们表示了系统中随时间变化的参数不 的F(k)(1=1,2,3)是渐近稳定的且满足 确定性」 lz(材2<YIw(l2,Y>0是预先给定的常数 为不失一般性，假定系统的参数不确定性具有 在给出主要结论之前，先给出下列引理 如下形式： 引理1)取M、H、E和J为合适维数的实矩 [△A△AG△B△B2 阵，且M=M,则以下条件等价： L△C△C.△D,△D 1)M+HAE+E△TH<0 7 式中：△=F(I-JF)1,JTJ<I,FTF L HJ F(W(1-J1FW)1· 2)存在常数入>0，使得 /EEEE. M 式中：H(i=1,2)、E(i=1,2,3,4)为具有适当维数 AHT <0 的已知实矩阵，且F:(付为时变扰动矩阵，Lebasgue E 可测并且满足：（材F(材 注：文中*表示矩阵对称位置元素的转置。 考虑到状态反馈控制器本身含有不确性： 引理2对给定的常数Y>0,闭环系统(5)渐近 u(W=(K+△KWx(W 2) 稳定且满足Iz(付2<YIw(材l2的充分条件是 式中：K∈Rx为控制器增益矩阵，△K为增益的摄 存在对称正定矩阵P和Q,使得下式成立： 动.考虑如下2种形式的控制器增益摄动： P+Q 1)加法式摄动 0 -Q AK Hs F2(k)(I-J2 F2()Es, 0 0 -21 <0.6 F(WF2(kM≤I. (3 AK Bx·P1 2)乘法式摄动 Ck 0 △K=H:F3(W1-J3F(付IE6K, 证明与文献31中引理2的证明类似 F时(MF3(付≤L. 4) 2鲁棒非脆弱H∞状态反馈控制 式中：H(i=3,4)、E(i=5,6)为具有适当维数的己 知实矩阵，F,(k(i=2,3)为Lebasgue可测的时变 下面的定理将分别给出当控制器增益存在加性 扰动矩阵并且满足：F(材F,(付 和乘性摄动时，鲁棒非脆弱H~状态反馈控制问题 将控制器2)代入系统(1)得到闭环系统： 的解存在的充分条件 x(k +1)=Axx(k)+Aaxx(k-d)+Bw(k), 定理1对系统1)和给定的常数Y>0存在状 z(k)=Ckx(k)+Cakx(k-d)+Dkw(k). 态反馈控制器(2)，其控制器增益摄动△K满足式 (5) 3),使得闭环系统5)渐近稳定且满足川z()2< 式中 yw()2的充分条件是存在人>0(i=1,2),对 Ax=(A+△AW+(B+△B2)(K+△， 称正定矩阵X和Y,矩阵W,使得 AK=Ad+△Ad,Bx=B1+△B1, 「 华明 <0. 7) Cx=(C+△C+(D2+△D)(K+△KN, CaK=Ca+△Ca,Dx=D1+△D1. 式中： -X 0 -Y 0 0-21 AX+B2W AY Bi -X 职= CX+D2W CaY DI 0 -1 X 0 0 0 0 -Y ★ ★ 0 0 0 入HFAH LE X+EW EY Es 0 0 0 AJ -入 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved. http://www.cnki.net是适当维常数矩阵 , d 是系统状态滞后时间 , ΔA、 ΔAd 、ΔB1 、ΔB2 、ΔC、ΔCd 、ΔD1 、ΔD2 为不确定实值 矩阵函数 ,它们表示了系统中随时间变化的参数不 确定性. 为不失一般性 ,假定系统的参数不确定性具有 如下形式 : ΔA ΔAd ΔB1 ΔB2 ΔC ΔCd ΔD1 ΔD2 = H1 H2 F1 ( k) ( I - J 1 F1 ( k) ) - 1 · [ E1 E2 E3 E4 ]. 式中 : Hi ( i = 1 ,2) 、Ei ( i = 1 ,2 ,3 ,4) 为具有适当维数 的已知实矩阵 ,且 F1 ( k) 为时变扰动矩阵 ,Lebasgue 可测并且满足 : F T 1 ( k) F1 ( k) ≤I. 考虑到状态反馈控制器本身含有不确性 : u( k) = ( K +ΔK) x( k) . (2) 式中 : K∈R m ×n为控制器增益矩阵 ,ΔK为增益的摄 动. 考虑如下 2 种形式的控制器增益摄动 : 1) 加法式摄动 ΔK = H3 F2 ( k) ( I - J 2 F2 ( k) ) - 1 E5 , F T 2 ( k) F2 ( k) ≤I. (3) 2) 乘法式摄动 ΔK = H4 F3 ( k) ( I - J 3 F3 ( k) ) - 1 E6 K, F T 3 ( k) F3 ( k) ≤I. (4) 式中 : Hi ( i = 3 ,4) 、Ei ( i = 5 ,6) 为具有适当维数的已 知实矩阵 , Fi ( k) ( i = 2 , 3) 为 Lebasgue 可测的时变 扰动矩阵并且满足 : F T i ( k) Fi ( k) ≤I. 将控制器(2) 代入系统(1) 得到闭环系统 : x( k + 1) = AK x ( k) + AdK x ( k - d) + Bkw ( k) , z( k) = CK x ( k) + CdK x ( k - d) + DKw ( k) . (5) 式中 : AK = ( A +ΔA) + (B2 +ΔB2 ) ( K+ΔK) , AdK = Ad +ΔAd ,BK = B1 +ΔB1 , CK = ( C +ΔC) + ( D2 +ΔD2 ) ( K+ΔK) , CdK = Cd +ΔCd , DK = D1 +ΔD1 . 文中的目的是 :设计系统(1) 的状态反馈控制器 (2) ,使得闭环系统(5) 对所有满足 F T i ( k) Fi ( k) ≤I 的 F ( k ) ( i = 1 , 2 , 3 ) 是 渐 近 稳 定 的 且 满 足 ‖z( k) ‖2 <γ‖w( k) ‖2 ,γ> 0 是预先给定的常数. 在给出主要结论之前 ,先给出下列引理. 引理 1 [9 ] 取 M、H、E 和 J 为合适维数的实矩 阵 ,且 M = M T ,则以下条件等价 : 1) M + HΔE + E TΔT H T < 0 式中 :Δ= F( I - J F) - 1 , J T J < I , F T F ≤I. 2) 存在常数λ> 0 ,使得 M 3 3 λH T - λI 3 E λJ - λI < 0. 注 :文中 3 表示矩阵对称位置元素的转置. 引理 2 对给定的常数γ> 0 ,闭环系统(5) 渐近 稳定且满足 ‖z( k) ‖2 <γ‖w( k) ‖2 的充分条件是 存在对称正定矩阵 P 和 Q ,使得下式成立 : - P + Q 3 3 3 3 0 - Q 3 3 3 0 0 - γ2 I 3 3 AK AdK B K - P - 1 3 CK CdK D K 0 - I < 0. (6) 证明 与文献[3 ]中引理 2 的证明类似. 2 鲁棒非脆弱 H ∞状态反馈控制 下面的定理将分别给出当控制器增益存在加性 和乘性摄动时 ,鲁棒非脆弱 H ∞状态反馈控制问题 的解存在的充分条件. 定理 1 对系统(1) 和给定的常数γ> 0 存在状 态反馈控制器 (2) ,其控制器增益摄动ΔK满足式 (3) ,使得闭环系统(5) 渐近稳定且满足 ‖z ( k) ‖2 < γ‖w( k) ‖2 的充分条件是存在λi > 0 ( i = 1 , 2) ,对 称正定矩阵 X和 Y,矩阵 W ,使得 Ψ1 ΨT 2 Ψ2 Ψ3 < 0. (7) 式中 : Ψ1 = - X 3 3 3 3 3 3 3 0 - Y 3 3 3 3 3 3 0 0 - γ2 I 3 3 3 3 3 AX + B2W Ad Y B1 - X 3 3 3 3 CX + D2W Cd Y D1 0 - I 3 3 3 X 0 0 0 0 - Y 3 3 0 0 0 λ1 H T 1 λ1 H T 2 0 - λ1 I 3 E1 X + E4W E2 Y E3 0 0 0 λ1 J 1 - λ1 I , 第 1 期 吴 珠 ,等 :线性不确定离散时滞系统的鲁棒非脆弱 H ∞控制 · 76 · © 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net