Beta函数的性质 1.连续性:B(Pq)在(0+∞)x(0,+∞)上连续。 证对于任意固定的p0>0,q0>0,当p>p0,q>q时, s xPo-l (1-x),0≤x≤1, 而∫x~-(1-xy-dx收敛,由 Weierstrass #J法,Jx(-xydx关于pq 在[n,+∞)×9+)上一致收敛,从而Bpq)=「x2(-xydx在 Ip0,+∞)×[q0,+∞)上连续 由p>0,q0>0的任意性得知B(p,q)在(0,+∞)×(0,+∞)上连续 2.对称性:B(p,q)=B(q,p),p>0,q>0。 证作变换x=1-t就得到 B(p, q 0p-11-x) (1-)rdt=B(q,p)。2．对称性：B( , ) B( , ) p q qp = ， qp >> 0,0 。 证 作变换 = 1− tx 就得到 1 1 1 1 11 0 0 B( , ) (1 ) d (1 ) d B( , ) p q pq p q x x x t t t qp − − −− = − =− = ∫ ∫ 。 Beta 函数的性质 1．连续性：B( , ) p q 在 +∞ × +∞),0(),0( 上连续。 证 对于任意固定的 0,0 0 qp 0 >> ，当 0 0 , >> qqpp 时， 1 1 1 1 0 0 )1()1( − − − − −≤− p q p q xxxx ， ≤ x ≤ 10 ， 而 0 0 1 1 1 0 (1 ) d p q x x x − − − ∫ 收敛，由 Weierstrass 判别法，1 1 1 0 (1 ) d p q x x x − − − ∫ 关于 p, q 在 ),[),[ 0 +∞ qp 0 +∞× 上一致收敛，从而 B( , ) p q = 1 1 1 0 (1 ) d p q x x x − − − ∫ 在 ),[),[ 0 +∞ × qp 0 +∞ 上连续。 由 0,0 0 qp 0 >> 的任意性得知B( , ) p q 在 +∞ × +∞),0(),0( 上连续