第10期 冯蒙丽等：高温超导量子干涉器磁测量中的电磁反演 。1047。 完全确定jx(kx,k)和j(kx,k)两个量，而只能得 流长直导线在平面内的磁场分布，然后将该离散的 到它们的一个线形组合.事实上，根据电流连续性 磁场数据进行二维傅里叶变换，得到二维频率谱，并 条件%，即7J=0,则在傅里叶空间有： 将该频率谱利用空间滤波的方法进行处理，用Ha~ -ikzjx(kx,ky)-ikyjy kx,ky)=0 (3) ning函数进行截断（由于是理想磁场数据，没有噪声 由式(3)可以看出，jx(kx,k)和j(kx,k,)满足 干扰，实际上该过程不会对结果产生明显影响)，最 一定的线性关系.因此根据得到的b(kx,k,z),并 后对滤波后的频谱进行傅里叶逆变换，即可得到原 将式(3)代入式(2)，即可唯一确定jx(kx,k)以及 载流长直导线的电流分布. i(kx,ky): 为了解决算法中的一些问题，首先利用简单的 长直载流导线进行讨论，因为长直载流导线周围的 jx(kx,ky)= 磁场容易计算，而且反演后的结果比较直观.实验 -i(2/od)e +灯B(kk,z)(4 +尽 中设载流导线的电流强度为100mA(沿x方向)，载 流平面厚度为1mm(在此即为导线的直径).计算 k5=%de点.k.与， 磁场时，在载流导线上方0.5mm的平面（实际检测 中为$QUD与载流平面间的距离z,如图1)中沿 (5) x和y方向各求出128个点，采样间隔均为 最后利用式(4)和(5)进行傅里叶反变换即可得 0.05/128m,于是得到一个128×128的离散数据矩 到电流密度的空间分布 阵：在频率空间，沿∫x和f方向的频率采样间隔为 2二维离散傅里叶变换 1/0.05m.图2为理想情况下长直载流导线附近平 面处的磁场分布(z方向分量表示磁场强度值)，图 由于实验中利用SQUID测得的磁场是一个 3是利用图1中的磁场数据反演计算后得到的电流 MXN(O≤x≤M,O≤y≤N)的离散数据阵列，该 分布. 离散数字阵列记为f(x,y),其二维傅里叶变换的 级数形式为： F(u,v)= (x,y)eM。-iw/N 1.0 0.5 (6) 0.5 f(x,y)=- F(u,v)e( -1.0 x=01=0 N-15L 150 (7) 100 100 二维离散傅里叶变换的频率谱、相角和能量谱 50 50 00 采样点 与二维连续傅里叶变换相似只是其独立变量是离 散的.对于M和N要求必须是2的整数次幂，这是 图2长直载流导线附近平面的磁场分布（采样间隔0.05/128m Fig.2 Magnetic field distribution near a wire with carrying 100 基于在计算机上实现运算的考虑，二维变换采用的 mA current the sampling in terval is 0.05/128 m) 是行列法.在算法实现上，二维FFT相当于对行和 列分别进行一维FT运算，也就是说，先对各行逐 由于设定的电流方向沿x方向，因此反演计算 一进行一维FFT,然后再对变换后的新矩阵的各列 得到的电流在y方向的分量应该为零.从图3可以 逐一进行一维FFT,返回的结果就是所求的二维傅 看出，实际的反演数据也很好地反映了这一特征， 里叶变换结果.相应的一维FFT变换采用Cooley一 通过上述基本模型的反演计算，可以证实二维 Tukey算法构建0，在截断周期L内采样N(或 磁场反演的有效性.但由于上述模型是理想情况 M)个离散点作为研究对象，则频率采样间隔为 即磁场数据中无噪声，而实际电磁测量是存在噪声 VL. 的.例如SQ UID测得的直线电流周围的磁场数据 3模拟计算与结果 (如图4所示，该图只给出了沿x方向的一组数 据)，很明显存在噪声，图中磁场信号采样间隔在x 首先采用长直载流导线激发的磁场来检验空间 和y方向均为0.05mm,采样点数为256X256.因 反演算法即在毕奥一萨法尔定律的基础上，求出载 此在将该方法应用于实际时，需要考虑空间滤波技完全确定 j x ( k x , ky ) 和 jy ( k x , ky ) 两个量, 而只能得 到它们的一个线形组合.事实上, 根据电流连续性 条件 [ 9] , 即 ·J =0, 则在傅里叶空间有: -ik xj x ( k x , ky ) -ikyjy ( kx , ky ) =0 ( 3) 由式( 3)可以看出, j x ( kx , ky )和 jy ( k x , ky )满足 一定的线性关系 .因此根据得到的 b( k x , ky , z), 并 将式( 3) 代入式( 2), 即可唯一确定 j x ( k x , ky ) 以及 jy ( k x , ky ) : j x ( k x , ky ) = -i( 2/ μ0 d) e k 2 x +k 2 y z ky k 2 x +k 2 y Bz( k x , ky , z) ( 4) jy ( kx , ky ) =i( 2/ μ0 d)e k 2 x +k 2 y z k x k 2 x +k 2 y Bz( kx , ky , z) ( 5) 最后利用式( 4) 和( 5)进行傅里叶反变换即可得 到电流密度的空间分布. 2 二维离散傅里叶变换 由于实验中利用 SQ UID 测得的磁场是一个 M ×N ( 0 ≤x ≤M, 0 ≤y ≤N ) 的离散数据阵列, 该 离散数字阵列记为 f ( x , y ), 其二维傅里叶变换的 级数形式为: F( u, v ) = ∑ M-1 x =0 ∑ N-1 y =0 f ( x , y ) e -i( 2πux )/ M e -i( 2πvy )/ N ( 6) f( x , y ) = 1 MN ∑ M -1 x =0 ∑ N -1 y =0 F ( u, v ) e i( 2πux )/ M e i( 2πvy )/ N ( 7) 二维离散傅里叶变换的频率谱、相角和能量谱 与二维连续傅里叶变换相似, 只是其独立变量是离 散的 .对于 M 和N 要求必须是 2 的整数次幂, 这是 基于在计算机上实现运算的考虑, 二维变换采用的 是行列法 .在算法实现上, 二维 FFT 相当于对行和 列分别进行一维 FFT 运算, 也就是说, 先对各行逐 一进行一维 FFT, 然后再对变换后的新矩阵的各列 逐一进行一维 FFT, 返回的结果就是所求的二维傅 里叶变换结果.相应的一维 FFT 变换采用 Cooley￾Tukey 算法构建[ 10] , 在截断周期 L 内采样 N ( 或 M)个离散点作为研究对象, 则频率采样间隔为 1/ L . 3 模拟计算与结果 首先采用长直载流导线激发的磁场来检验空间 反演算法, 即在毕奥-萨法尔定律的基础上, 求出载 流长直导线在平面内的磁场分布, 然后将该离散的 磁场数据进行二维傅里叶变换, 得到二维频率谱, 并 将该频率谱利用空间滤波的方法进行处理, 用 Han￾ning 函数进行截断(由于是理想磁场数据, 没有噪声 干扰, 实际上该过程不会对结果产生明显影响), 最 后对滤波后的频谱进行傅里叶逆变换, 即可得到原 载流长直导线的电流分布. 为了解决算法中的一些问题, 首先利用简单的 长直载流导线进行讨论, 因为长直载流导线周围的 磁场容易计算, 而且反演后的结果比较直观 .实验 中设载流导线的电流强度为 100mA(沿 x 方向), 载 流平面厚度为 1 mm( 在此即为导线的直径) .计算 磁场时, 在载流导线上方 0.5 mm 的平面( 实际检测 中为SQ UID 与载流平面间的距离 z, 如图 1) 中沿 x 和 y 方 向各 求 出 128 个点, 采 样间 隔均 为 0.05/128 m, 于是得到一个 128 ×128 的离散数据矩 阵 ;在频率空间, 沿 f x 和f y 方向的频率采样间隔为 1/0.05 m .图 2 为理想情况下长直载流导线附近平 面处的磁场分布( z 方向分量表示磁场强度值), 图 3 是利用图 1 中的磁场数据反演计算后得到的电流 分布. 图 2 长直载流导线附近平面的磁场分布( 采样间隔 0.05/ 128 m) Fig.2 Magnetic field distribution near a wire with carrying 100 mA current ( the sampling interval is 0.05/ 128 m) 由于设定的电流方向沿 x 方向, 因此反演计算 得到的电流在 y 方向的分量应该为零.从图 3 可以 看出, 实际的反演数据也很好地反映了这一特征 . 通过上述基本模型的反演计算, 可以证实二维 磁场反演的有效性.但由于上述模型是理想情况, 即磁场数据中无噪声, 而实际电磁测量是存在噪声 的 .例如 SQ UID 测得的直线电流周围的磁场数据 (如图 4 所示, 该图只给出了沿 x 方向的一组数 据) , 很明显存在噪声, 图中磁场信号采样间隔在 x 和y 方向均为 0.05 mm, 采样点数为 256 ×256 .因 此在将该方法应用于实际时, 需要考虑空间滤波技 第 10 期 冯蒙丽等:高温超导量子干涉器磁测量中的电磁反演 · 1047 ·