证明由题设,E=G=V,F=0,于是 E 1,E=Gv=0. 由F=0知曲面的坐标网是正交网,由测地线的微分方程得 尝=s6=cs6 d 0= 2(0-s0=尝 化简得du= cot bdv du=2vd6所以 cot edv=2vd6 C 积分得cos6=(C为积分常数)于是 du d√a-Cz u=2C√-C2,或v2=4C2(x-C2) 所求的测地线在u平面上是抛物线 P17010求正螺面r={ ucos, using,av}上的测地线(练习) 解正螺面的第一基本量为 E=1,F=0,G=2+a2 由F=0知正螺面的坐标曲线正交,并由测地线的微分方程得 dvE G √a+a de 1/EaIn E 1 aInG d=2Va-20 tan 6 I dIn(u+a) 第29讲第6页共8页第 29 讲 第 6 页 共 8 页 证明 由题设，E＝G＝v，F＝0，于是 化简得 du＝cot  dv du＝2vd  所以 cot  dv＝2vd  积分得 cos  ＝ v C (C 为积分常数) 于是 P170 10 求正螺面 r={ucosv，usinv，av }上的测地线.（练习） 解 正螺面的第一基本量为